Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie:

(1)

gdzie p i g są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnym przedziale.

W przypadku, gdy funkcja g jest tożsamościowo równa 0, równanie (1) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym, zaś gdy funkcja g nie jest tożsamościowo równa 0, równanie (1) nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.

Równanie (1) rozwiązujemy w oparciu o następujące twierdzenie:

Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (1) jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego.

W skrócie będziemy pisali:

(2) CORLN = CORJ + CSRN

Sposób rozwiązywania równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu wyjaśnimy na kilku przykładach. W rachunkach pomoże nam kalkulator ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie.

Krok 1. Równanie liniowe jednorodne.

Szukamy rozwiązania równania:

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Zatem

CORJ:

Krok 2. Całka szczególna równania niejednorodnego.

Uzmienniamy stałą C w CORJ zakładając, że C zależy od x:

Tak obliczone wielkości wstawiamy do równania wyjściowego i otrzymujemy:

CSRN:

Krok 3. CORLN = CORJ + CSRN, wobec tego mamy:

CORLN:

Na ClassPadzie otrzymujemy natychmiast rozwiązanie naszego zadania z tym, że nie mieści się ono na jednym ekranie...

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

przy warunku początkowym

Rozwiązanie.

Krok 1. Równanie liniowe jednorodne.

Szukamy rozwiązania równania:

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Zatem

CORJ:

Krok 2. Całka szczególna równania niejednorodnego.

Uzmienniamy stałą C w CORJ zakładając, że C zależy od x:

Tak obliczone wielkości wstawiamy do równania wyjściowego i otrzymujemy:

CSRN:

Krok 3. CORLN = CORJ + CSRN, wobec tego mamy:

CORLN:

Krok 4. Warunek początkowy.

Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego przy zadanym warunku początkowym jest funkcja:

Na ClassPadzie otrzymujemy natychmiast rozwiązanie naszego zadania...

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie.

Krok 1. Równanie liniowe jednorodne.

Szukamy rozwiązania równania:

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Zatem

CORJ:

Krok 2. Całka szczególna równania niejednorodnego.

Uzmienniamy stałą C w CORJ zakładając, że C zależy od x:

Tak obliczone wielkości wstawiamy do równania wyjściowego i otrzymujemy po przekształceniach:

CSRN:

Krok 3. CORLN = CORJ + CSRN, wobec tego mamy:

CORLN:

Na ClassPadzie otrzymujemy natychmiast rozwiązanie naszego zadania, choć nieco różniące się (zapisem) od znalezionego przez nas:

---