Zestaw 4.

Równania liniowe pierwszego rzędu

Definicja 1. Równanie różniczkowe nazywamy liniowym jednorodnym, gdy jest ono postaci

y

0

+ f (x)y = 0.

(RJ)

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.

Definicja 2. Równanie różniczkowe nazywamy liniowym niejednorodnym, gdy jest ono postaci

y

0

+ f (x)y = g(x).

(RN)

Istnieją trzy podstawowe metody rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych.

Metoda uzmienniania stałej polega na tym, że najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne y

0

+ f (x)y = 0.

Dostajemy rozwiązanie ogólne w postaci y(x) = Ce

F (x)

. Następnie zakładamy, że C jest funkcją zmiennej x, tzn

C = C(x). Podstawiamy y(x) = C(x)e

−F (x)

do równania niejednorodnego i znajdujemy wzór na C

0

(x). Po scałkowaniu

mamy już wszystkie niezbędne czynniki, które wstawiamy do rozwiązania.

Metoda przewidywań bazuje na twierdzeniu z wykładu, które mówi o tym, że przestrzeń rozwiązań równania

niejednorodnego jest równa przestrzeni rozwiązań równania jednorodnego, do której dodano jakiekolwiek ustalone
rozwiązanie równania niejednorodnego. Innymi słowy, wystarczy rozwiązać równanie jednorodne, znaleźć jakiekolwiek
rozwiązanie równania niejednorodnego i dodać je. W ten sposób mamy wszystkie rozwiązania równania niejednorod-
nego.

Powstaje więc pytanie, jak szukać rozwiązania szczególne? Metoda przewidywań pozwala przewidzieć postać roz-

wiażania szczególnego w zależności od tego, jakiej postaci jest prawa strona (RN). Załóżmy, że a, b ∈ R oraz P, Q są
wielomianami, deg P = m, deg Q = n.

• Równanie postaci

y

0

+ ay = P (x)e

bx

ma rozwiązanie szczególne postaci

y

s

(x) = M (x)e

bx

,

gdzie M (x) jest wielomianem stopnia m + 1.

• Równanie postaci

y

0

+ ay = P (x) cos bx + Q(x) sin bx

ma rozwiązanie szczególne postaci

y

s

(x) = M (x) cos bx + N (x) sin bx,

gdzie M oraz N są wielomianami stopni co najwyżej max{m, n}.

Przewidywane rozwiązanie podstawiamy do równania niejednorodnego i wyznaczamy niewiadome współczynniki wie-
lomianów. Należy pamiętać, iż y

s

jest tylko jednym rozwiązaniem równania niejednorodnego, a nie całą rodziną wszyst-

kich rozwiązań!

Uwaga 1. Jeżeli g(x) = g

1

(x) + g

2

(x), to można znaleźć rozwiązania szczególne równań

y

0

+ f (x)y = g

1

(x),

y

0

+ f (x)y = g

2

(x).

Wtedy suma rozwiązań szczególnych powyższych równań będzie rozwiązaniem szczególnym równania (RN).

Metoda domnożania polega na znalezieniu takiej funkcji h(x), by po pomnożeniu przez nią obu stron równania

(RN) lewa strona stała się pochodną iloczynu. Mianowicie szukamy takiej funkcji h(x), by dla pewnej funkcji k(x)
spełniony był warunek

(y(x)k(x))

0

= y

0

(x)h(x) + y(x)f (x)h(x) = g(x)h(x).

Szczegóły dotyczące tej metody są treścią zadania drugiego.

1

Zadanie 1. Znajdź ogólną postać rozwiązania równania (RJ).

Zadanie 2. Znajdź ogólną postać rozwiązania (RN) (można to zrobić stosując drugą oraz trzecią z wymienionych
metod).

Zadanie 3. Rozwiąż równania stosując dowolną z wymienionych wyżej metod:

(a) y

0

= xy + xe

x

2

(b) y

0

sin x + y cos x = sin 2x

(c) y

0

+ 2y = e

−x

(d) y

0

+

y
x

= 3

(e) y

0

x ln x − y = 3x

2

ln

2

x

(f ) y

0

=

2y

x+1

+ (x + 1)

2

(g) y

0

=

1

x cos y+sin 2y

(h) (1 + x

2

)y

0

+ y = arctan x

(i) (x + e

y

)y

0

= 1

(j) (x − 2y + y

2

)y

0

+ y

2

= 0

Zadanie 4. Rozwiąż poniższe równania stosując metodę przewidywań:

(a) y

0

+ 2y = 3x

2

,

(b) y

0

− ey = 3 sin 4x,

(c) y

0

− 3y = 6e

2x

+ sin 2x + cos 2x.

2