R

ÓWNANIE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO C

.

D

W

YZNACZANIE

RORN

METODĄ UZMIENNIANA STAŁEJ

.

(

METODA UNIWERSALNA

)

Metoda polega na zastąpieniu stałej C w RORJ nieznaną funkcją

)

(x

C

i wyznaczeniu jej z

żądania aby iloczyn

)

(

)

(

x

P

e

x

C

y





spełniał RN.

Krok1
Rozwiązujemy równanie jednorodne

0

)

(







y

x

p

y

dostajemy RORJ w postaci

)

( x

P

Ce

y





,

R

C



,





dx

x

p

x

P

)

(

)

(

Krok2
W miejsce stałej C w RORJ wprowadzamy funkcję

)

(x

C

i żądamy, aby wyrażenie

)

(

)

(

x

P

e

x

C

y





spełniało RN

Obliczamy

y







)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

P

x

P

x

P

x

P

e

x

C

x

p

e

x

C

x

P

e

x

C

e

x

C

y



























Wstawiamy

y

y ,



do RN.

Dostajemy

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

f

e

x

C

x

p

e

x

C

x

p

e

x

C

x

P

x

P

x

P















)

(

)

(

)

(

x

f

e

x

C

x

P







)

(

)

(

)

(

x

P

e

x

f

x

C





dx

e

x

f

x

C

x

P





)

(

)

(

)

(

Podstawiamy wyznaczoną funkcję, otrzymujemy RSRN

dx

e

x

f

e

y

x

P

x

P







)

(

)

(

)

(

RORN=RORJ+RSRN
Zatem RORN ma postać

dx

e

x

f

e

Ce

y

x

P

x

P

x

P











)

(

)

(

)

(

)

(

,

R

C



,





dx

x

p

x

P

)

(

)

(

Uwaga
Jeśli uwzględnimy przy całkowaniu stałą C

C

dx

e

x

f

x

C

x

P







)

(

)

(

)

(

to po wstawieniu do proponowanej postaci rozwiązania RN od razu otrzymamy RORN





)

(

)

(

)

(

x

P

x

P

e

C

dx

e

x

f

y









,

R

C



,





dx

x

p

x

P

)

(

)

(

W

YZNACZANIE

RSRN

METODĄ PRZEWIDYWANIA

(

METODA DLA PRZYPADKÓW SZCZEGÓLNYCH

)

Jeżeli w równaniu liniowym niejednorodnym

1. funkcja p jest stała,
2. funkcja f jest

- wielomianem
- funkcją postaci

x

b

x

a





cos

sin



,



,

, b

a

oznaczają stałe

- funkcją typu

kx

ae

,

k

a,

stałe

- sumą lub iloczynem funkcji wymienionych typów

to RSRN można przewidzieć.

)

(x

f

Projekt RSRN

)

(x

y

s

kx

ae

kx

Ae

zachowujemy stałą k

Wielomian

)

(x

w

n

a

b

ax



c

bx

ax





2

Wielomian

)

(x

W

n

A

B

Ax



C

Bx

Ax





2

zachowujemy stopień wielomianu

x

b

x

a





cos

sin



x

B

x

A





cos

sin



zachowujemy stałą





,

,

,

,

k

c

b

a

stałe znane występujące po prawej

stronie RN

A, B, C stałe nieznane, które
należy wyznaczyć

UWAGA
Jeśli prawa strona RN jest rozwiązaniem RJ wówczas funkcja proponowana z tabeli nie może
być rozwiązaniem RN. Wówczas przewidujemy RSRN w postaci

)

(x

xy

s

.

Zadania
Wyznaczyć RO równań
a)

x

e

y

y

4

3

2







b)

1

2

2









x

y

y

c)

x

y

y

4

sin

2







d)

x

e

y

y

2

4

2









.