R

ÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci

0

)

,

,

,

(







y

y

y

x

F

gdzie F oznacza znaną funkcję, niewiadomą jest funkcja

)

(x

y

y



jednej zmiennej x i w

którym występuje druga pochodna tej funkcji.

Rozwiązać równanie z podanymi warunkami początkowymi

1

)

1

(

,

2

)

1

(

,

0













y

y

y

R

ÓWNANIE

LINIOWE

RZĘDU DRUGIEGO

Równanie liniowe rzędu drugiego zapisujemy w postaci

)

(

)

(

)

(

x

f

y

x

q

y

x

p

y











( skrót RL)

gdzie p, q i f są to dane funkcje ciągłe, określone w przedziale X.

Równanie nazywamy
jednorodnym jeśli

0

)

(



x

f

na przedziale X (skrót RJ),

niejednorodnym jeśli f(x)



0 (skrót RN).

0

)

(

)

(











y

x

q

y

x

p

y

RJ

)

(

)

(

)

(

x

f

y

x

q

y

x

p

y











RN

Dla dowolnych wartości początkowych





1

0

0

,

,

y

y

x

gdzie

R

y

y

X

x





1

0

0

,

,

równanie linowe

ma dokładnie jedno rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy

0

0

)

(

y

x

y



,

1

0

)

(

y

x

y





.

Wszystkie rozwiązania istnieją w całym przedziale X.

R

ÓWNANIE

LINIOWE JEDNORODNE

RZĘDU DRUGIEGO

0

)

(

)

(











y

x

q

y

x

p

y

RJ

TW.
Całka ogólna równania liniowego jednorodnego jest funkcją postaci

)

(

)

(

2

2

1

1

0

x

y

C

x

y

C

y





RORJ

gdzie

R

C

C



2

1

,

są dowolnymi stałymi, a funkcje

)

(

),

(

2

2

1

1

x

y

y

x

y

y





są liniowo

niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego tzn.

const

x

y

x

y



)

(

)

(

2

1

. lub

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1









x

y

x

y

x

y

x

y

x

W

Mówimy wówczas, że funkcje

)

(

),

(

2

2

1

1

x

y

y

x

y

y





tworzą układ podstawowy całek

równania jednorodnego. Wyznacznik W nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem
Wrońskiego).

Uwaga
Jeżeli znamy niezerowe rozwiązanie równania jednorodnego

1

y

, to drugiego rozwiązania

poszukujemy w postaci

)

(

)

(

)

(

1

2

x

y

x

C

x

y



gdzie

)

(x

C

C



jest szukaną funkcją.

R

ÓWNANIE

LINIOWE JEDNORODNE

RZĘDU DRUGIEGO

O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

0











qy

y

p

y

R

q

p



,

RJ

Przewidujemy RSRJ w postaci

rx

e

y



, gdzie r jest pewną stałą. W celu wyznaczenia stałej r

podstawiamy funkcję i jej pochodne

rx

re

y





rx

e

r

y

2





do RJ. Otrzymujemy tzw. równanie

charakterystyczne

0

2







q

pr

r

.

Możliwe są trzy sytuacje
1.

0

4

2









q

p

Równania charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

2

1

, r

r

. Odpowiadają im

dwie liniowo niezależne funkcje

x

r

x

r

e

y

e

y

2

1

2

1

,





,

które tworzą układ podstawowy całek RJ. Ich kombinacja liniowa o dowolnych
współczynnikach

R

C

C



2

1

,

tworzy RORJ.

x

r

x

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1





R

C

C



2

1

,

RORJ

2.

0

4

2









q

p

Równania charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty

0

r

. Odpowiada mu

rozwiązanie RJ

x

r

e

y

0

1



. Drugą funkcję wyznaczamy metodą uzmiennia stałej. Otrzymujemy

x

r

xe

y

0

2



.

Zatem funkcja





x

r

e

x

C

C

y

0

2

1





R

C

C



2

1

,

jest RORJ.
3.

0





Brak pierwiastków rzeczywistych. Rozwiązania zespolone





i

r





1

,





i

r





2

Funkcje

x

e

y

x





sin

1



x

e

y

x





cos

2



tworzą układ podstawowy całek RJ.





x

C

x

C

e

y

x







cos

sin

2

1





R

C

C



2

1

,

RORJ.

RORJ o stałych współczynnikach

0





x

r

x

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1





R

C

C



2

1

,

0









x

r

e

x

C

C

y

0

2

1





R

C

C



2

1

,

0









x

C

x

C

e

y

x







cos

sin

2

1





R

C

C



2

1

,

Zadanie
Wyznaczyć RO równania
a)

0

2

3











y

y

y

b)

0

4

4











y

y

y

c)

0

5

6

5











y

y

y

R

ÓWNANIE

LINIOWE NIEJEDNORODNE

RZĘDU DRUGIEGO

)

(

)

(

)

(

x

f

y

x

q

y

x

p

y











RN

RORN=RORJ+RSRN

-

M

ETODA PRZEWIDYWANIA

RSRN

W przypadku równania

o stałych współczynnikach

z

prawą stroną postaci

- wielomianu
- funkcji

x

b

x

a





cos

sin



- funkcji typu

kx

ae

- suma lub iloczyn funkcji wymienionych typów

tak jak dla równania liniowego rzędu pierwszego, w celu wyznaczenia RSRN można
stosować metodę przewidywania.

zadanie

2

3

8

4

4

4

x

x

y

y

y













-

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

RSRN wyznaczamy metodą uzmienniania stałych w RORJ

)

(

)

(

2

2

1

1

0

x

y

C

x

y

C

y





.

RSRN poszukujemy w postaci

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

x

y

x

C

x

y

x

C

y

s





,gdzie

)

(

),

(

2

2

1

1

x

C

C

x

C

C





szukane funkcje.
Pochodne

)

(

),

(

2

1

x

C

x

C





szukanych funkcji wyznaczamy z układu równań



























)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

1

1

x

f

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

W przypadku równania o stałych współczynnikach z prawą stroną jak dla równania liniowego
rzędu pierwszego w celu wyznaczenia RSRN można stosować metodę przewidywania.

Zadanie
Wyznaczyć RORJ

0

3

2

2











y

y

x

y

x

jeżeli funkcja

x

y



1

jest całką tego równania.

Zadanie

x

x

y

y

x

y

x

ln

5

3

2

2











odp.

x

x

x

C

x

C

y

ln

9

1

2

2

5

1







R

ÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO

1. Jeżeli w równaniu nie występuje funkcja

y

0

)

,

,

(







y

y

x

F

podstawiamy

)

(x

u

y





.

Zatem

)

(x

u

y







, po podstawieniu do równania dostajemy

0

)

,

,

(





u

u

x

F

równanie rzędu pierwszego dla funkcji

)

(x

u

u



.

Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y





dx

x

u

x

y

)

(

)

(

2. Jeżeli w równaniu nie występuje zmienna niezależna x

0

)

,

,

(







y

y

y

F

podstawiamy

)

( y

u

y





.

Zatem

 





u

dy

du

dx

dy

dy

du

y

u

dx

d

y

dx

d

y













)

(

, po podstawieniu do równania dostajemy

0

)

),

(

,

(



u

dy

du

y

u

y

F

równanie rzędu pierwszego dla funkcji

)

( y

u

u



.

Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y z równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych

)

( y

u

dx

dy



dx

u

dy



dla

0



u

,

(sprawdzamy czy kładąc

0



u

dostajemy rozwiązania równania).