AM2 w13

30.05.2012

RÓWNANIA

RÓŻNICZKOWE

ZWYCZAJNE

-

WPROWADZENIE

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym występuje nieznana funkcja
jednej zmiennej i jej pochodne.

Przykład 1
Jak powstaje równanie różniczkowe?
Jak szybko stygnie kawa?
Jak szybko topią się lody?
Zbudujmy prosty model matematyczny tego zjawiska.
t- czas

)

(t

T

T



temperatura ciała w chwili t

0

0

)

(

T

t

T



temperatura początkowa ciała



T

- temperatura otoczenia

Zmiana temperatury po upływie czasu h jest proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem a
otoczeniem.

















T

t

T

a

h

t

T

h

t

T

)

(

)

(

)

(

a



współczynnik proporcjonalności,

0



a

.

Współczynnik proporcjonalności jest ujemny gdyż ciało po upływie czasu

0



h

stygnie

0

)

(

)

(







t

T

h

t

T

, gdy ma temperaturę wyższą od temperatury otoczenia

0

)

(







T

t

T

.

Ciało ogrzewa się

0

)

(

)

(







t

T

h

t

T

, gdy ma temperaturę niższą od temperatury otoczenia

0

)

(







T

t

T

.

Przyjmując dla prostoty

0





T

i przechodząc do granicy

0



h

otrzymujemy równanie różniczkowe

aT

dt

dT





,

aT

T







Rozwiązanie równania łatwo odgadnąć jest to np. funkcja

at

e

t

T





)

(

oraz każda funkcja postaci

at

Ce

t

T





)

(

gdzie C oznacza dowolna stałą.

Uwzględniając warunek początkowy

0

0

)

(

T

t

T



dostajemy rozwiązanie wyjściowego zagadnienia

)

(

0

0

)

(

t

t

a

e

T

t

T







Rozwiązanie można łatwo zmodyfikować by uwzględniało dowolną temperaturę otoczenia.





)

(

0

0

)

(

t

t

a

e

T

T

T

t

T















Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci

0

)

,...,

,

,

,

(

)

(







n

y

y

y

y

x

F

***

gdzie F oznacza znaną funkcję a niewiadomą jest funkcja

)

(x

y

y



jednej zmiennej x i w którym

występują pochodne tej funkcji.
Rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu nazywamy rzędem równania.

0

2









y

x

y

y





0

6











y

y

y

Pierwsze dwa równania są rzędu pierwszego, trzecie równanie jest rzędu drugiego.

Funkcję

)

(x

y

y



określoną w pewnym przedziale, która zmienia równanie *** w tożsamość

nazywamy rozwiązaniem szczególnym równania (całką szczególną skrót RS lub CS)
Wykres tej funkcji nazywamy krzywą całkową.

AM2 w13

30.05.2012

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

0

)

,

,

(





y

y

x

F

*

Zadanie polegajace na wyznaczeniu funkcji spełniającej równanie różniczkowe * i przechodzącej
przez zadany punkt

)

,

(

0

0

y

x

inaczej spełniającej warunek początkowy

0

0

)

(

y

x

y



nazywamy

zagadnieniem Cauchy’ego dla równania rzędu pierwszego.

Zajmiemy się równaniem rzędu pierwszego w postaci normalnej

)

,

(

y

x

f

y





.

Przez rozwiązanie równania rozumiemy dalej zarówno podanie rozwiązania w postaci jawnej, to
znaczy podanie wzoru na szukaną funkcję

)

(x

y

y



jak też podanie rozwiązania w postaci uwikłanej,

czyli

C

y

x





)

,

(

gdzie C jest stałą.

RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Def. Równanie postaci

)

(

)

(

y

g

x

f

y





(1)

gdzie funkcja f jest ciągła w przedziale X, funkcja g jest ciągła i różna od zera w przedziale Y
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to rozwiązujemy, "rozdzielając zmienne", czyli grupując wyrażenia z y po jednej stronie, a
wyrażenia z x po drugiej stronie znaku równości.

Rozdzielamy zmienne, otrzymujemy:

dx

x

f

dy

y

g

)

(

)

(



całkujemy







dx

x

f

dy

y

g

)

(

)

(

skąd dostajemy całkę ogólna równanie (1)

C

x

F

y

G





)

(

)

(

gdzie G, F są funkcjami pierwotnymi funkcji g i f, C oznacza dowolną stałą.

Całka szczególna równania (1) spełniająca zadany warunek początkowy (CSsWP)

0

0

)

(

y

x

y



gdzie liczby

0

0

, y

x

są dane ma postać

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

x

F

x

F

y

G

y

G







Przez każdy punkt

)

,

(

0

0

y

x

prostokąta





Y

y

X

x

y

x

D







,

:

)

,

(

przechodzi dokładnie jedna krzywa

całkowa równania (1).

Zadanie 1

Rozwiązać równanie

x

y

y

2





.

AM2 w13

30.05.2012

R

ÓWNANIA RÓŻNICZKOWE SPROWADZALNE DO RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Równanie postaci

















x

y

f

y

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych (1) za pomocą podstawienia

x

y

x

u



)

(

.

Równanie





c

by

ax

f

y









gdzie

0

,

,



b

c

a

są to dane liczby

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych (1) za pomocą podstawienia

c

by

ax

x

u







)

(

.

Zadanie 2
Rozwiązać równanie

1









y

x

y

y

x

y

x

y









2

R

ÓWNANIA LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO

Def. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego nazywamy liniowym, jeśli jest to równanie pierwszego
stopnia ze względu na niewiadomą funkcje i jej pierwszą pochodną. Zapisujemy je w postaci

)

(

)

(

x

f

y

x

p

y







( skrót RL)

gdzie p i f są to dane funkcje ciągłe, określone w przedziale X.
Równanie nazywamy
jednorodnym jeśli

0

)

(



x

f

na przedziale X (skrót RJ),

niejednorodnym jeśli f(x)



0 (skrót RN).

0

)

(







y

x

p

y

RJ

)

(

)

(

x

f

y

x

p

y







RN

Dla dowolnych wartości początkowych





0

0

, y

x

gdzie

R

y

X

x





0

0

,

równanie linowe ma dokładnie

jedno rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy

0

0

)

(

y

x

y



. Wszystkie rozwiązania istnieją

w całym przedziale X.

Równanie jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, ma rozwiązanie ogólne

)

( x

P

Ce

y





skrót RORJ

gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p, C jest dowolną stałą.

Uwaga
RJ ma jedno rozwiązanie zerowe (

X

x

y





dla

0

), które otrzymujemy ze wzoru kładąc

0



C

oraz nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest dane wzorem







dx

e

x

f

e

y

x

P

x

P

)

(

)

(

)

(

skrót RSRN

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest dane wzorem

RORN=RORJ+RSRN

Przykład
Rozwiązać równanie liniowe spełniające zadany warunek poczatkowy

2

)

1

(

,

2

2

3









y

x

xy

y