Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym:
1. niewiadomą jest funkcja
2. występują pochodne tej funkcji
Równanie różniczkowe może być:
- zwyczajne gdy niewiadoma funkcja jest funkcją jednej
zmiennej
- cząstkowe gdy niewiadoma funkcja jest funkcją wielu
zmiennych (wówczas w równaniu występują pochodne
cząstkowe tej funkcji).
Wprowadzimy skrót:
RR - równanie różniczkowe (zwyczajne)
Przykład 1. Dane jest RR:
y
xy
'
.
Litera y oznacza szukaną funkcję zmiennej x.
Każda funkcja postaci:
Cx
y
, gdzie
R
C
spełnia to
równanie. Sprawdźmy to:
C
y
'
.
Podstawiamy wzory
Cx
y
i
C
y
'
do danego RR i
dostajemy:
Cx
C
x
.
Można wykazać, że inne funkcje nie spełniają danego RR.
Rozwiązanie ogólne RR (inaczej: całka ogólna RR) jest to
zbiór wszystkich funkcji spełniających to RR (skrót: ROR
lub COR).
Rozwiązanie szczególne RR (inaczej: całka szczególna
RR) jest to każda funkcja spełniająca to RR (skrót: RSR
lub CSR).
W przykładzie 1:
ROR:
Cx
y
RSR:
x
y
5
(także np.
x
y
x
y
,
2
itd.)
RR o zmiennych rozdzielonych są to równania, które
można doprowadzić do postaci:
dx
x
g
dy
y
f
)
(
)
(
Przykład 2. Rozwiązać RR:
2
'
x
yy
Polecenie „rozwiązać RR” oznacza „wyznaczyć ROR”.
Przepisujemy dane RR zastępując symbol pochodnej
'
y
symbolem
dx
dy
. Dostajemy:
2
x
dx
dy
y
Przekształcamy to równanie traktując
dx
dy
jak zwykły
ułamek algebraiczny. Mnożymy przez
dx
:
dx
x
ydy
)
2
(
Rozdzieliliśmy zmienne. Teraz obie strony całkujemy:
dx
x
dy
y
)
2
(
Obliczamy całki:
1
2
2
1
C
y
dy
y
2
2
2
2
1
)
2
(
C
x
x
dx
x
Wracamy do równania:
2
2
1
2
2
2
1
2
1
C
x
x
C
y
1
2
2
2
2
2
1
2
1
C
C
x
x
y
)
(
2
4
1
2
2
2
C
C
x
x
y
Oznaczmy:
C
C
C
)
(
2
1
2
C
x
x
y
4
2
2
C
x
x
y
4
2
Odpowiedź. ROR:
C
x
x
y
4
2
.
Przykład 3. Znaleźć RSR:
2
'
x
yy
spełniające
warunek początkowy:
3
)
0
(
y
.
Jest to równanie z poprzedniego przykładu. Znaleźliśmy
już ROR:
C
x
x
y
4
2
.
Podstawiamy:
3
,
0
y
x
:
C
0
0
3
2
C
3
Ponieważ
9
3
, zatem
9
C
.
Odpowiedź: RSR spełniające dany warunek początkowy
to:
9
4
2
x
x
y
.
RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
są to równania postaci:
R
p
x
f
py
y
),
(
'
W przypadku, gdy
0
)
(
x
f
równanie nazywamy
jednorodnym. W innym przypadku równanie nazywamy
niejednorodnym.
RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
jednorodne są to równania:
0
'
py
y
RJ
Rozwiązanie ogólne RJ jest dane wzorem:
px
Ce
y
Przykład 4. Rozwiązać równanie:
0
3
'
y
y
Odpowiedź: RORJ:
x
Ce
y
3
RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
niejednorodne
Twierdzenie. Dla równania liniowego rzędu 1 jest:
RORN = RORJ + RSRN.
Przykład 5. Rozwiązać równanie
3
2
'
x
y
y
Rozwiązanie. Piszemy RJ:
0
2
'
y
y
i wyznaczamy
RORJ:
x
Ce
y
2
RSRN wyznaczamy metodą przewidywania.
Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:
b
ax
y
.
Obliczamy:
a
y
'
i podstawiamy powyższe funkcje do
RN:
3
2
'
x
y
y
3
)
(
2
x
b
ax
a
3
2
2
x
b
ax
a
Stąd:
3
2
1
2
b
a
a
,
4
5
3
2
2
1
2
1
b
b
a
Zatem RSRN:
4
5
2
1
x
y
Odpowiedź. RORN:
4
5
2
1
2
x
Ce
y
x
.
Przykład 6. Rozwiązać równanie
x
e
y
y
2
'
Rozwiązanie. Piszemy RJ:
0
'
y
y
i wyznaczamy
RORJ:
x
Ce
y
Przewidujemy, że RSRN jest funkcją postaci:
x
ae
y
2
.
Obliczamy:
x
ae
y
2
2
'
i podstawiamy powyższe funkcje
do RN:
x
e
y
y
2
'
x
x
x
e
ae
ae
2
2
2
2
x
x
e
ae
2
2
Stąd:
1
a
Zatem RSRN:
x
e
y
2
Odpowiedź. RORN:
x
x
e
Ce
y
2
.
RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach są
to równania:
)
(
'
"
x
f
qy
py
y
gdzie
R
q
p
,
W przypadku, gdy
0
)
(
x
f
równanie nazywamy
jednorodnym. W innym przypadku równanie nazywamy
niejednorodnym.
RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach,
jednorodne są to równania:
0
'
"
qy
py
y
RJ
Aby rozwiązać RJ piszemy równanie charakterystyczne
(RCh):
0
'
"
qy
py
y
. Jest to równanie kwadratowe.
Obliczamy jego wyróżnik
q
p
4
2
. Możliwe są 3
przypadki:
(1) Jeżeli
0
to RCh ma 2 pierwiastki
1
r
i
2
r
, zaś
RORJ:
x
r
x
r
e
C
e
C
y
2
1
2
1
(2) Jeżeli
0
to RCh ma 1 pierwiastek
0
r
, zaś RORJ:
x
r
e
x
C
C
y
0
)
(
2
1
(3) Jeżeli
0
to RORJ:
)
cos
sin
(
2
1
bx
C
bx
C
e
y
ax
gdzie:
2
;
2
b
p
a
.
Przykład 7. Rozwiązać równanie
0
4
'
4
"
y
y
y
Rozwiązanie. RCh:
0
4
4
2
r
r
0
4
4
4
2
- przypadek (2). Jest 1 pierwiastek
2
2
4
0
r
. Zatem RORJ:
x
e
x
C
C
y
2
2
1
)
(
Przykład 8. Rozwiązać równanie
0
13
'
4
"
y
y
y
Rozwiązanie. RCh:
0
13
4
2
r
r
0
36
52
16
13
4
4
2
- przyp. (3).
Obliczamy:
3
2
;
2
2
b
p
a
Zatem RORJ:
)
3
cos
3
sin
(
2
1
2
x
C
x
C
e
y
x
Przykład 9. Rozwiązać równanie
0
4
'
5
"
y
y
y
Rozwiązanie. RCh:
0
4
5
2
r
r
9
4
4
5
2
- przypadek (1).
Są 2 pierwiastki:
1
2
3
5
;
4
2
3
5
2
1
r
r
Zatem RORJ:
x
x
e
C
e
C
y
2
4
1
RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach,
niejednorodne
Podobnie jak dla równań liniowych rzędu pierwszego,
prawdziwy jest związek:
RORN = RORJ + RSRN
Wyznaczanie RORJ omówiliśmy wcześniej. RSRN
wyznaczamy metodą przewidywania, podobnie jak dla
równań rzędu pierwszego.
Przykład 10. Rozwiązać równanie
2
16
4
4
'
4
"
2
x
x
y
y
y
RN
Rozwiązanie. Piszemy RJ:
0
4
'
4
"
y
y
y
i
rozwiązujemy je. Uczyniliśmy to w przykładzie 7
otrzymując RORJ:
x
e
x
C
C
y
2
2
1
)
(
Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:
c
bx
ax
y
2
.
Obliczamy:
b
ax
y
2
'
i
a
y
2
"
.
Podstawiamy powyższe funkcje do RN:
2
16
4
4
'
4
"
2
x
x
y
y
y
2
16
4
4
4
4
4
8
2
2
2
x
x
c
bx
ax
b
ax
a
2
16
4
4
4
2
)
4
8
(
4
2
2
x
x
c
b
a
x
b
a
ax
2
4
4
2
16
4
8
4
4
c
b
a
b
a
a
,
2
4
4
2
16
4
8
1
c
b
b
a
,
3
,
2
4
8
2
2
1
c
c
b
a
Zatem RSRN:
3
2
2
x
x
y
Odpowiedź. RORN:
3
2
)
(
2
2
2
1
x
x
e
x
C
C
y
x
Przykład 11. Rozwiązać równanie
x
e
y
y
y
3
5
13
'
4
"
RN
Rozwiązanie. Piszemy RJ:
0
13
'
4
"
y
y
y
i
rozwiązujemy. Uczyniliśmy to w przykł. 8 otrzymując:
RORJ:
)
3
cos
3
sin
(
2
1
2
x
C
x
C
e
y
x
Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:
x
ae
y
3
.
Obliczamy:
x
ae
y
3
3
'
i
x
ae
y
3
9
"
.
Podstawiamy powyższe funkcje do RN:
x
e
y
y
y
3
5
13
'
4
"
x
x
x
x
e
ae
ae
ae
3
3
3
3
5
13
12
9
x
x
e
ae
3
3
5
34
5
34
a
,
34
5
a
Zatem RSRN:
x
e
y
3
34
5
Odpowiedź. RORN:
x
x
e
x
C
x
C
e
y
3
2
1
2
34
5
)
3
cos
3
sin
(
Przykład 12. Rozwiązać równanie
x
x
y
y
y
cos
13
sin
4
'
5
"
RN
Rozwiązanie. Piszemy RJ:
0
4
'
5
"
y
y
y
i
rozwiązujemy je. Uczyniliśmy to w przykładzie 9
otrzymując:
RORJ:
x
x
e
C
e
C
y
2
4
1
Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:
x
b
x
a
y
cos
sin
.
Obliczamy:
x
b
x
a
y
sin
cos
'
i
x
b
x
a
y
cos
sin
"
.
Podstawiamy powyższe funkcje do RN:
x
x
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
cos
13
sin
cos
4
sin
4
sin
5
cos
5
cos
sin
x
x
x
a
b
x
b
a
cos
13
sin
cos
)
5
3
(
sin
)
5
3
(
Stąd:
13
3
5
1
5
3
b
a
b
a
Rozwiążemy ten układ metodą Cramera:
34
25
9
3
5
5
3
W
68
65
3
3
13
5
1
a
W
2
W
W
a
a
34
5
39
13
5
1
3
b
W
1
W
W
b
b
Zatem RSRN:
x
x
y
cos
sin
2
Odpowiedź. RORN:
x
x
e
C
e
C
y
x
x
cos
sin
2
2
4
1