METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW

Rozwiązywanie równań i układów równań

Ścisłe (symboliczne) rozwiązywanie równań i układów równań

solve (równania, niewiadome)

równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.

Przybliżone (numeryczne) rozwiązywanie równań i układów równań

fsolve (równania, niewiadome)

równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Niewiadome można podać określając przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie np.:

0

..

3

,

2

..

1







y

x

.

Zadania

1. Rozwiązać w sposób ścisły równania:

a)

0

3

4

sin



















x

x

Odp.









0

,

3

9

1

2

2

2





b)

0

2

5

2

5

5

2

1















x

x

x

Odp.



























5

2

ln

4

125

ln

c)

0

15

2

16

2

2

3

4

5











x

x

x

x

x

Odp. 0, -1, -, -3, 5

2. Rozwiązać w sposób ścisły układy równań. Otrzymane rozwiązania przypisać do

indywidualnych zmiennych np. x

1

, y

1

, x

2

, y

2

.

a)



















0

0

4

1

4

)

(

2

y

x

y

x

x

x

Odp.



 

 



840896

.

0

,

5

.

0

,

840896

.

0

,

5

.

0

,

1

,

1













y

x

y

x

y

x

b)



































8

6

3

3

7

2

4

6

4

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Odp.























29

115

,

29

94

,

29

176

z

y

x

c)

















0

18

2

3

0

12

3

2

y

x

y

x

Odp.





1

,

2





y

x

Wskazówka: Wykorzystaj komendę eval.

3. Znaleźć przybliżone rozwiązania następujących równań

a)

0

2

2

sin

















x

x

w przedziale

0

..

15





x

Odp. –12.566041, -6.308421

b)

0

)

1

3

(

arctg

2







x

Odp. –0.577350, 0.577350

c)

0

2

cos

sin

e

cos





x

x

x

w przedziale

5

..

1



x

Odp. 0.400919, 3.141593, 4.102109

Wskazówka:
a) Wykreśl odpowiednią krzywą.
b) Określ przedział w którym znajduje się wybrane rozwiązanie i użyj go w wywołaniu
komendy fsolve.
c) Czynność z podpunktu b) powtórz dla każdego pierwiastka.

4. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania następujących układów równań:

a)

















4

9

)

cos(

2

2

y

x

xy

y

x

Odp. {x=-5.97939, y=-0.16565}, {x=-0.14160, y=1.99944},

{x=0.14160, y=-1.99944}, {x=5.97939, y=0.16565}

b)























x

x

y

y

y

x

)

cos(

)

sin(

2

9

)

2

(

2

2

Odp. {x=0.60560, y=0.70760}, {x=3.41343, y=-0.14134}

Wskazówka: Postępuj podobnie jak w punkcie 3. Do narysowania krzywych wykorzystaj
komendę implicitplot z pakietu plots, służącą do wykreślania funkcji niejawnych.

5. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania, w tym zespolone, następującego równania

wielomianowego:

0

16

13

3

16

3

2

3

4











x

x

x

x

Wskazówka: W wywołaniu komendy fsolve wykorzystaj opcję complex.

Odp. –0.662359-0.562280i, –0.662359+0.562280i, 1.324718, 5.333333