1

Zestaw 1.
Funkcja kwadratowa. Funkcja homograficzna.
Równanie liniowe. Układy dwóch równań liniowych.

Przykład 1.

Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem

 











3

2

3

1

1

2













x

x

x

x

f

.

Rozwiązanie.

Przekształcimy na początek postać wzoru określającego funkcję do postaci trójmianu

kwadratowego, otrzymamy kolejno:

 









5

3

2

3

6

3

2

2

3

2

3

1

2

2

2

2



























x

x

x

x

x

x

x

f

.

Przypomnijmy, że

miejscem zerowym funkcji

jest

f

D

x 

taki, że

 

0



x

f

.

Należy zatem

rozwiązać w tym przypadku równanie

0

5

3

2

2





 x

x

.

Policzymy wyróżnik:

 

49

5

2

4

3

4

2

2



















ac

b

, stąd

7





.

Ponieważ wyróżnik jest dodatni badana funkcja posiada dwa miejsca zerowe postaci

2

5

4

7

3

2

1



















a

b

x

oraz

1

4

7

3

2

2

















a

b

x

.

Przykład 2.

Rozwiązać równanie

0

14

13

2

2









x

x

Rozwiązanie.

Skoro jest to trójmian kwadratowy przyrównany do zera, policzymy wyróżnik:





  



4

14

1

4

13

2

4

2

2























ac

b

. Ponieważ wyróżnik jest ujemny badane

równanie nie posiada rozwiązań.

Przykład 3.

Naszkicować wykres funkcji danej wzorem

 

5

4

2









x

x

x

f

.

Rozwiązanie.

Łatwo policzymy, że

36





. Wierzchołek paraboli ma zatem współrzędne

2

2







a

b

x

w

i

9

4









a

y

w

. Policzmy jeszcze miejsca zerowe tej funkcji:

5

2

6

4

2

1



















a

b

x

oraz

1

2

6

4

2

2





















a

b

x

.

Zauważmy ponadto, że

0

1 





a

, zatem

ramiona paraboli skierowane są do dołu

. W efekcie

mamy wykres postaci:

2

Przykład 4.

Rozwiązać nierówność

0

5

4

2









x

x

.

Skorzystamy z wyliczeń przykładu 3. Z wykresu odczytujemy, że





5

;

1





x

- dla takich x

wykres leży ponad osią OX i dołączamy punkty wspólne z tą osią.

Przykład 5.

Przekształcić do postaci kanonicznej wzór funkcji homograficznej

1

4







x

x

y

.

Zauważmy najpierw, że dziedziną tej funkcji jest

 

1

\

R

. Przekształcamy kolejno





1

1

3

1

3

1

1

4

























x

x

x

x

x

y

. Oznacza to, że wykres badanej funkcji otrzymamy

przesuwając wykres homografii

x

y

3



o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX i o 1 jednostkę

w dół wzdłuż osi OY.

Przykład 6.

Rozwiązać układ równań

















4

5

2

y

x

x

y

.

Uporządkujemy na początek ten układ do postaci



















4

5

2

y

x

y

x

.

9

2

-1

5

3

I SPOSÓB (podstawiania)

Z drugiego równania wyznaczymy y. Mamy zatem

















4

5

2

x

y

y

x

. Podstawiając tak

wyznaczony y do pierwszego równania otrzymamy kolejno



















4

5

4

2

x

y

x

x

, stąd















4

1

x

y

x

i w efekcie













3

1

y

x

. Układ ma zatem jedno rozwiązanie punkt A=





3

;

1



.

II SPOSÓB (przeciwnych współczynników)

Dodamy oba równania stronami i otrzymamy

























4

4

5

2

y

x

y

y

x

x

, stąd













3

1

y

x

.

III SPOSÓB (graficzny)

Popatrzmy jeszcze na interpretację graficzną. Jest to układ równań prostych.

Pierwsza

z nich

przecina oś OX (tzn

0



y

) w punkcie

2

5





x

,

druga

prosta przecina oś OX w punkcie

4





x

. Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny obu prostych





3

;

1





A

A

4

Przykład 1a.

Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem

 







7

3

5







x

x

x

f

.

Rozwiązanie. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z jego czynników jest równy zero. Ponieważ
funkcja f jest wyrażona jako iloczyn dwóch czynników liniowych, to przyjmuje wartość
zero, gdy x+3=0 lub x-7=0 . Zatem f ma dwa miejsca zerowe

3

1





x

oraz

7

2



x

.

Przykład 2a

. Rozwiązać równanie

0

4

3

2



 x

x

.

Rozwiązanie. Lewa strona równania jest trójmianem kwadratowym, który możemy rozłożyć
na czynniki liniowe





4

3

4

3

2







x

x

x

x

.

(Stosujemy tutaj prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania). Podobnie jak w

przykładzie 1a otrzymujemy, że równanie ma dwa rozwiązania

0

1



x

oraz

3

4

2





x

.

Przykład 3a

. Rozwiązać nierówność

0

16

2





x

.

Rozwiązanie. Lewa strona nierówności jest trójmianem kwadratowym. Wykorzystując wzór
skróconego mnożenia (







b

a

b

a

b

a









2

2

) rozkładamy go na czynniki liniowe







4

4

4

16

2

2

2













x

x

x

x

.

Zatem trójmian ten ma dwa miejsca zerowe

4

1





x

oraz

4

2



x

. Ponieważ współczynnik

stojący przy

2

x jest równy 1 , czyli jest dodatni, to wykresem funkcji

 

16

2



 x

x

f

jest

parabola, której ramiona są skierowane do góry. Stąd wynika, że rozwiązaniem nierówności
są wszystkie liczby



 















,

4

4

,

x

.

5

Zadanie 1.1. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem

a)

 

6

5

2







x

x

x

f

b)

 







6

2

3







x

x

x

f

c)

 









2

3

1

3

x

x

x

x

x

f











d)

  







x

x

x

f

7

1

4

2

3

2









e)

 

3

2



 x

x

f

f)

 

x

x

x

f

22

2

2





g)

 

48

3

2



 x

x

f

h)

 

1

2







x

x

x

f

.

Zadanie 1.2. Rozwiązać równanie

a)

 

2

2

2



x

b)

3

3

3

3

2

2







x

x

c)





2

25

,

0

4

x

x

x





d)

0

27

2





a

a

e)

0

5

5

2

2







b

b

f)





39

2

1

3

2











n

n

g)





2

4

2

2









x

x

x

h)





25

10







x

x

i)





45

2

1

4

2









n

n

Zadanie 1.3. Wyznaczyć wierzchołek, miejsca przecięcia z osią OX (o ile istnieją) i

naszkicować parabolę daną równaniem

a)

7

6

2







x

x

y

b)

3

6

4

2









x

x

y

c)

5

2

2







x

x

y

d)

2

3

2









x

x

y

e)

1

2

3

2







x

x

y

f)

5

4

2







x

x

y

g)

1

4

2

2









x

x

y

h)

7

4

2







x

x

y

.

Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność

a)

0

7

6

2





 x

x

b)

0

3

6

4

2









x

x

c)

0

5

2

2





 x

x

d)

0

2

3

2









x

x

e)

0

25

2





x

f)





1

1

2







x

x

x

g)









5

2

3

1

5









x

x

x

x

Zadanie 1.5. Naszkicować wykres funkcji

x

y

1



. Przekształcając go, naszkicować wykres

funkcji danej wzorem

a)

 

x

x

f

1





b)

 

1

1





x

x

f

c)

 

1

1





x

x

f

d)

 

1

1







x

x

f

6

e)

 

1

1

1







x

x

f

f)

 

1

1







x

x

f

+1

g)

 

1

1

1







x

x

f

.

Zadanie 1.6. Zapisać wzór danej funkcji homograficznej w postaci kanonicznej, a następnie

naszkicować jej wykres

a)

x

x

y

6





b)

6

2

7

2







x

x

y

c)

2

1







x

x

y

d)

3

2







x

x

y

e)

2

2









x

x

y

f)

3

5





x

y

g)

x

x

y







2

1

.

Zadanie 1.7. Rozwiązać równanie

a)





0

8

2

4

7









x

x

b)

36

5

2

1

9

4

4

3













x

x

x

c)









13

3

1

2

52

51

26

156

3

10

20

y

y

y

y

y















d)









2

2

2

1

3

1

2

1

1

x

x

x











e)

3

4

3

1

2











x

x

x

.

Zadanie 1.8. Stosując metodę podstawiania rozwiązać układ równań

a)

















3

3

7

5

y

x

y

x

b)















5

7

5

3

4

y

x

y

x

c)



 





















18

2

10

1

2

2

4

y

x

y

x

d)







 























9

1

3

2

10

1

4

2

y

x

y

x

Zadanie 1.9 Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układ równań

a)















7

2

4

3

2

y

x

y

x

b)















2

,

4

6

3

5

,

1

5

y

x

y

x

c)

















5

,

4

2

5

1

3

4

y

x

y

x

d)















9

7

6

5

5

4

y

x

y

x

7

Zadanie 1.10. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań

a)

















1

5

3

0

2

y

x

y

x

b)















y

x

y

x

2

,

0

6

,

0

2

,

2

11

3

c)



















2

1

4

3

5

,

1

3

2

y

x

x

y

d)



















17

3

1

2

x

y

y

x

e)



























3

2

3

1

6

2

3

y

x

y

y

x

f)



































5

2

2

3

3

2

3

y

x

x

y

y

y

x

g)





















0

2

4

2

5

2

y

x

y

x

h)



















y

x

y

x

2

1

2

7

5

8

Odpowiedzi

Zadanie 1.1.

a)

6

1









x

x

b)

6

2









x

x

c)

2

2

2

2









x

x

d)

9

40

0









x

x

e)

3

3









x

x

f)

11

0







x

x

g)

4

4









x

x

h) brak miejsc zerowych.

Zadanie 1.2.

a)

2

2

2

2









x

x

b)

6

6

0













x

x

x

c)

3

1

0







x

x

d)

27

0







a

a

e)

5



b

f)

3

13

6









n

n

g)

3

6







x

x

h)

5



x

i)

5

5

,

4









n

n

Zadanie 1.3.

a)





2

3

,

2

3

2

;

3

2

1













x

x

W

b)

















4

3

;

4

3

W

,

brak miejsc zerowych

c)





4

;

1



W

,

brak miejsc zerowych

d)

1

,

2

4

1

;

2

3

2

1



















x

x

W

e)



















3

2

;

3

1

W

,

brak miejsc zerowych

f)





5

,

1

9

;

2

2

1











x

x

W

g)





2

2

1

,

2

2

1

1

;

1

2

1

















x

x

W

h)





11

2

,

11

2

11

;

2

2

1



















x

x

W

Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność

a)



 



















;

2

3

2

3

;

x

b)





x

c)





x

d)



 















;

2

1

;

x

9

e)





5

;

5





x

f)

















2

1

;

1

x

g)

R

x 

Zadanie 1.6

a)

1

6







x

y

b)

1

3

2

1







x

y

c)

1

2

3







x

y

d)

2

3

6









x

y

e)

1

2

4









x

y

f)

3

5





x

y

g)

1

2

3









x

y

Zadanie 1.7

a)

4



x

b)

7

1



x

c)

11



y

d)

2

1



x

e) brak rozwiązań

Zadanie 1.8

a)















8

11

8

9

y

x

b)













6

,

0

8

,

0

y

x

c)











1

2

y

x

d)













2

3

y

x

Zadanie 1.9

a)

















7

10

7

29

y

x

b)











5

,

0

4

,

0

y

x

c)











1

5

,

0

y

x

d)











3

5

y

x

10

Zadanie 1.10

a)













1

2

y

x

b)















11

3x

y

R

x

c) układ sprzeczny

d)













5

2

y

x

e)















3

2x

y

R

x

f)













R

y

y

x

5

2

g) układ sprzeczny

h)











3

2

y

x