Zestaw 2.
Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna.
Elementarne równania i nierówności.

Przykład 1. Wykonać działanie

x

−a−2

x

−a−1

, podając założenia, przy jakich jest ono wyko-

nywalne.

Rozwiązanie. Niech x 6= 0, a ∈ R. Wówczas

x

−a−2

x

−a−1

= x

−a−2−(−a−1)

= x

−1

=

1
x

.

Przykład 2. Rozwiązać równanie x

−

3
4

=

1
8

.

Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę równania: x ∈ R

+

.

Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy je podnieś do potęgi:
(x

−

3
4

)

−

4
3

= (

1
8

)

−

4
3

. Stąd x = (

1
8

)

−

4
3

, czyli x =

3

√

8

4

= 16. Liczba 16 ∈ R

+

, więc jest

rozwiązaniem równania.

Przykład 3. Rozwiązać nierówność x

3

+ 2x

2

− 16x − 32 > 0.

Rozwiązanie. Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki liniowe
(wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów i wzór skróconego mnożenia): x

3

+2x

2

−

16x − 32 = x

2

(x + 2) − 16(x + 2) = (x

2

− 16)(x + 2) = (x − 4)(x + 4)(x + 2). Obliczamy

miejsca zerowe tego wielomianu, z uwzględnieniem ich krotności: x = −4, x = −2, x =
4, jednokrotne. Szkicujemy wykres tego wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązania
nierówności: x ∈ (−4, −2) ∪ (4, +∞).

Przykład 4. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy a

√

3

< a

1,1

?

Rozwiązanie. Zaważmy, że

√

3 > 1, 1. Zatem a ∈ (0, 1) ( bo funkcja f (x) = a

x

jest

funkcją malejącą jeżeli a ∈ (0, 1)).

Przykład 5. Rozwiązać równanie 2

2x−4

= 4

5−3x

.

Rozwiązanie. Równanie 2

2x−4

= 4

5−3x

jest równoważne równaniu 2

2x−4

= (2

2

)

5−3x

.

Korzystając z praw działań na potęgach ((a

x

)

y

= a

xy

, a > 0, x, x ∈ R) mamy 2

2x−4

=

2

10−6x

. Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy 2x−4 = 10−6x, czyli

8x = 14. Stąd x =

7
4

.

Przykład 6. Rozwiązać równanie 3

x+3

− 3

x−2

=

26

9

.

Rozwiązanie. Korzystając z praw działań na potęgach (a

x

a

y

= a

x+y

,

a

x

a

y

= a

x−y

, a >

0, x, y ∈ R) zapisujemy równanie 3

x+3

− 3

x−2

=

26

9

w postaci: 3 · 3

x

−

1
9

· 3

x

=

26

9

i

równoważnie 3

x

(3 −

1
9

) =

26

9

. Stąd 3

x

·

26

9

=

26

9

, czyli 3

x

= 1 i równoważnie 3

x

= 3

0

. Z

różnowartości funkcji wykładniczej otrzymujemy x = 0.

1

Przykład 7. Rozwiązać nierówność 3

2x−1

> (

1
3

)

5x−1

.

Rozwiązanie. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej: (

1
3

)

−2x+1

> (

1
3

)

5x−1

. Z

uwagi na monotoniczność funkcji y = (

1
3

)

x

(a dokładniej z faktu, że funkcja ta jest

funkcją malejącą), mamy: −2x + 1 < 5x − 1, czyli x >

2
7

.

Przykład 8. Obliczyć log

2

32.

Rozwiązanie. Zgodnie z definicją, log

a

b = c ⇔ a

c

= b, a > 0, a 6= 1, b > 0. Kładąc

zatem log

2

32 = x, mamy 2

x

= 32, stąd log

2

32 = 5.

Przykład 9. Rozwiązać równanie log

2

(x − 4) = 0.

Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Logarytm po lewej stronie równania ist-
nieje dla x spełniających nierówność x − 4 > 0, czyli dla x > 4. Korzystając z definicji
logarytmu otrzymujemy x − 4 = 2

0

, czyli x − 4 = 1. Stąd x = 5. Ponieważ 5 ∈ (4, ∞),

więc jest rozwiązaniem tego równania.

Przykład 10. Rozwiązać równanie 2 log(2 − x) − log x = log(x + 5).

Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Powyższe logarytmy istnieją, gdy :
2 − x > 0 ∧ x > 0 ∧ x + 5 > 0, czyli x < 2 ∧ x > 0 ∧ x < −5. Stąd x ∈ (0, 2). Korzystając
z podstawowych praw działań na logarytmach (dla a, b, c > 0, a 6= 1 mamy
log

a

b + log

a

c = log

a

bc, log

a

b − log

a

c = log

a

b
c

, k log

a

b = log

a

(b

k

)) otrzymujemy

równanie równoważne: log(2 − x)

2

= log(x(x + 5)). Z różnowartościowości funkcji lo-

garytmicznej mamy (2 − x)

2

= x(x + 5) ⇔ 4 − 4x + x

2

= x

2

+ 5x ⇔ 9x = 4 ⇔ x =

4
9

.

Ponieważ

4
9

∈ (0, 2), więc jest rozwiązaniem tego równania.

Przykład 11. Rozwiązać nierówność log

4

(2x + 3) < 1.

Rozwiązanie. Logarytm istnieje, o ile 2x + 3 > 0 ⇔ x > −

3
2

. Zauważmy, że 1 = log

4

4,

więc nierówność można zapisać w postaci równoważnej log

4

(2x + 3) < log

4

4. Ponieważ

funkcja y = log

4

x jest funkcją rosnącą, więc 2x + 3 < 4 ⇔ x >

1
2

. Zbiór rozwiązań

nierówności jest częścią wspólną zbiorów (−

3
2

, ∞) oraz (

1
2

, ∞), więc ostatecznie

x ∈ (

1
2

, ∞).

Przykład 12. Znaleźć dziedzinę funkcji f (x) = log

2

(4x − x

2

+ 5).

Rozwiązanie. Funkcja f istnieje dla x takich, że −x

2

+ 4x + 5 > 0. Liczymy

∆ = 4

2

− 4 · (−1) · 5 = 36, więc

√

∆ = 6; x

1

=

−4−6

2·(−1)

= 5 ∨ x

2

=

−4+6

−2

= −1. Szkicując

parabolę odczytujemy rozwiązania nierówności kwadratowej: x ∈ (−1, 5). Ostatecznie
D

f

= (−1, 5).

2

Zadanie 2.1. Wykonać poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wy-
konywalne.

a)

u

−6

w

2

x

−5

v

−2

·

w

−5

x

6

u

−5

v

−1

;

b)

x

4

y

−7

x

−2

z

:

x

6

y

−1

y

7

z

−1

;

c) (

a

−1

b

4

c

2

d

−3

)

−2

: (

c

−4

b

3

ad

−6

)

−3

.

Zadanie 2.2. Podać dziedziny i naszkicować wykresy funkcji:

a) y = x, y = x

3

, y = x

5

;

b) y = x

2

, y = x

4

, y = x

6

;

c) y = x

−2

, y = x

−4

, y = x

−6

;

d) y = x

−1

, y = x

−3

, y = x

−5

;

e) y = x

1
2

, y = x

1
3

, y = x

1
4

;

f) y = x

−

1
2

, y = x

−

1
3

.

Zadanie 2.3. Rozwiązać równania i nierówności:

a) x

4
3

= 3

3

√

3;

b) x

−1,5

= 3

3
8

;

c) x

2
5

+ 3x

1
5

= 28;

d) (

2

√

x

x

2

)

−3

= [(x

√

x)

−1

]

−

1
2

;

e) x

6

+ 3x

3

− 4 = 0;

f) x

−1

­ x

−2

;

g) x

1
4

< x

1
2

;

h) −x

4

− x

2

+ 6 > 0;

i) (x − 3)

7

(x + 2)

2

(x + 7)

19

< 0;

j) x

4

− 4x

3

+ x

2

− 4x < 0;

k) 2x

3

+ x

2

− 18x − 9 ­ 0.

3

Zadanie 2.4. Przekształcając wykres funkcji y = 3

x

naszkicować wykresy funkcji:

a) y = 3

x−1

+ 2;

b) y = 3

x+2

− 1;

c) y = 3

−x

;

d) y = (

1
3

)

x−3

− 1.

Zadanie 2.5. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy:

a) a

2

< a

3

;

b) a

√

2

< a

0,8

;

c) a

3,4

< a

π

;

d) a

√

3

< a

1,9

.

Zadanie 2.6. Rozwiązać równania i nierówności:

a) 2

x+3

= 4

x−1

;

b) (0, 5)

x−4

= 16

5x−4

;

c) (

√

27)

3x−2

= 9

5x−3

;

d) 2

x

2

= 4

2x−2

;

e) 3

6x

2

+x

= 9

−3x+0,5

;

f) (0, 04)

−2

= 5

11x

2

+7x

;

g) 0, 125 · 4

2x−1

= (

√

2

8

)

−x−1

;

h) 2

x+2

+ 2

x

= 20;

i) 3 · 9

x

+ 9

x−1

− 9

x−2

= 251;

j) 3

2x+2

+ 3

2x

= 30;

k) 2 · 16

x

− 17 · 4

x

+ 8 = 0;

l) 7

2x

+ 7

x

= 36 · 7

x

+ 686;

m) 3

x+2

+ 9

x+1

= 810;

n) 2

x+1

> 8

x−1

;

o) (

5
4

)

3−x−x

2

< (0, 8)

x

2

−2x+2

;

p) (

√

3)

2−x

< 9

x−4

;

4

r) 3

x

2

< 9

4x−6

;

s) 4

2x+3

¬ (0, 5)

x

2

.

Zadanie 2.7. Obliczyć poniższe logarytmy:

a) log

2

16;

b) log

2

1
4

;

c) log 0, 01;

d) log

√

2

2;

e) log

5

5

√

5;

f) log

6

1;

g) log

√

2

2

8.

Zadanie 2.8.
1) Przekształcając wykres funkcji y = log

2

x naszkicować wykresy funkcji

y = log

2

(x − 1) + 3 oraz y = −log

2

x + 3.

2) Przekształcając wykres funkcji y = log

1
3

x naszkicować wykresy funkcji

y = log

1
3

(x + 2) − 1 oraz y = | log

1
3

(x − 1)| + 1

Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:

a) log

2

(x − 4) = 0;

b) log

5

(1 − x) = log

5

6 − log

5

(2 − x);

c) log

2

(x

2

− 2) − log

2

(6 − x) + 1 = 0;

d) log

3

x − 4 log x = 0;

e)

1
2

log (x + 3) = 1 −

1
2

log (x + 24);

f) log

2

(8 − 2x) − 2 log

2

(2 − x) = 1;

g) log

3

(3

x

− 8) = 2 − x;

h) log

7

(6 + 7

−x

) = x + 1;

i) (log

2

x)

2

+ 3 = 4 log

2

x;

j) log

3

(2x + 7) < 1;

k) log

1
2

(x − 4) > −2;

l) log

3

(2x − 1) − 1 < log

3

(x − 2).

5

Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji:

a) f (x) = log (x

2

− x + 2);

b) f (x) = log (4x − x

2

+ 5);

c) f (x) = log

6

(5

x

− 5

2x−3

);

d) f (x) = x −

q

(3

x

)

2

− 3 · 3

x

;

e) f (x) = 1 −

√

2

x

+ 3;

f) f (x) =

√

1 − 2

x

+

√

x;

g) f (x) =

1
3

x

2

+ 5x + log (3

x

2

− 81);

h) f (x) =

x

1−log x

;

i) f (x) =

q

log

2

(x + 2);

j) f (x) =

q

4 − log

1
2

x;

k) f (x) =

q

2 log x − log

2

x;

l) f (x) = 5 log

3+x

(−x − 1).

ODPOWIEDZI:
Zadanie 2.1.

a)

xv

3

uw

3

, u, w, v, x 6= 0;

b)

y

z

2

, x, y, z 6= 0;

c)

bd

12

ac

8

, a, b, c, d 6= 0.

Zadanie 2.3.

a) x = 3;

b) x =

4
9

;

c) x = 4

5

;

d) x = 2

4
5

;

e) x =

3

√

−4 ∨ x = 1;

f) x ∈ h1, +∞);

g) x ∈ (1, +∞);

6

h) x ∈ (−

√

2,

√

2);

i) x ∈ (−7, 3) \ {−2};

j) x ∈ (0, 4);

k) x ∈ h−3, −

1
2

i ∪ h3, +∞).

Zadanie 2.4.

a) translacja o wektor [1,2];

b) translacja o wektor [-2,-1];

c) symetria względem osi OY;

d) symetria względem osi OY, a nastepnie translacja o wektor [3,-1].

Zadanie 2.5.

a) a ∈ (1, +∞);

b) a ∈ (0, 1);

c) a ∈ (1, +∞);

d) a ∈ (1, +∞).

Zadanie 2.6.

a) x = 5;

b) x =

20
21

;

c) x =

6

11

;

d) x = 2;

e) x = −

1
6

∨ x = 1;

f) x = −1 ∨ x =

4

11

;

g) x = 5;

h) x = 2;

i) x = 2;

j) x =

1
2

;

k) x = −

1
2

∨ x =

3
2

;

7

l) x = 2;

m) x = 2;

n) x < 2;

o) x >

5
3

;

p) x >

18

5

;

r) x ∈ (2, 6);

s) nierówność nie ma rozwiązania.

Zadanie 2.7.

a) 4;

b) −2;

c) −2

d) 2;

e)

3
2

;

f) 0;

g) −6.

Zadanie 2.8.
1) a) translacja o wektor [1,3];

b) symetria względem osi OX, a następnie translacja

o wektor [0,3].
2) a) translacja o wektor [-2,-1];

b) translacja o wektor [1,0], przekształcenie części

wykresu leżącego pod osią OX w symetrii względem tej osi, a następnie translacja o
wektor [0,1].

Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:

a) x = 5;

b) x = −1;

c) x = −

5
2

∨ x = 2;

d) x = 0, 01 ∨ x = 1 ∨ x = 100;

e) x = 1;

f) x = −3 ∨ x = 0;

g) x = 2;

8

h) x = 0;

i) x = 2 ∨ x = 8;

j) x ∈ (−

7
2

, −2);

k) x ∈ (4, 8);

l) x ∈ (5, +∞).

Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji:

a) D

f

= (−∞, −1) ∪ (2, +∞);

b) D

f

= (−1, 5);

c) D

f

= (−∞, 3);

d) D

f

= h1, +∞);

e) D

f

= R;

f) D

f

= {0};

g) D

f

= (−∞, −2) ∪ (2, +∞);

h) D

f

= (0, +∞) \ {10};

i) D

f

= h−1, +∞);

j) D

f

= h

1

16

, +∞);

k) D

f

= h1, 100i;

l) D

f

= (−3, −1) \ {−2}.

9