Klasa 3c

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Powtórzenie

 

1. Do wykresu funkcji wykładniczej f należy punkt

1

1,

3

A

⎛

⎞

= −

⎜

⎟

⎝

⎠

. Rozwiąż równanie

( )

( )

8

0

f

x

f

− =

.

2. Naszkicuj wykres funkcji

( )

( )

2

log 4

f x

x

=

, podaj jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały

monotoniczności.

3. Wyznacz dziedzinę funkcji

( )

1

4

2

1

log

2

3

9

x

f x

x

=

+ +

−

.

4. Wykaż, że jeżeli

7

log 2 a

= , to również

343

log 8 a

= .

5. Wyznacz liczbę x tak, aby liczby 2 , 4 , 8

x

x

x

tworzyły ciąg arytmetyczny.

6. Oblicz wartość wyrażenia

3

25

1 2log 2

log 4

9

5

W

−

=

+

.

7. Dla jakich wartości parametru m równanie

(

)

4

2 2

0

x

x

m

m

+

+ ⋅

− = ma dwa pierwiastki?

8. Rozwiąż graficznie układ

(

)

3

log

1

2

x

y

x

y

⎧

−

<

⎪

⎨

>

⎪⎩

.

9. Wyznacz liczbę x tak, aby liczby dodatnie

(

)

(

)

8

8

log

1 , 3log

1 , 6

x

x

−

−

tworzyły ciąg geometryczny.

10. Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej jeśli wiesz, że do wykresu należy punkt

(

)

4, 1

A

=

− . Podaj wzór tej

funkcji:

a) po przesunięciu o wektor

[

]

3, 5

u

= − − ,

b) po przekształceniu symetrycznym względem osi OX.

11. Przedstaw liczbę

(

) (

)

2

3

27

27

27

log 9

log 9

log 9

a

=

+

+

+… w najprostszej postaci.

12. Dana jest funkcja

( )

(

)

1
2

log

f x

x

a

b

=

−

+ . Wyznacz wartości parametrów a i b jeśli wiesz, że dziedziną funkcji

jest

(

)

5;

+ ∞ i do jej wykresu należy punkt

1

5 , 9

8

A

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

. Podaj wzór tej funkcji.

13. Wykaż, że dla liczb spełniających odpowiednie założenia (podaj te założenia) prawdziwy jest wzór

1

1

log

log

a

a

b

b

=

.

14. Dla jakich wartości parametru m równanie

(

)

2

2

log

1 0

x

m x

−

+ = ma pierwiastek należący do przedziału

(

)

1;

+ ∞ ?

15. Rozwiąż równanie 2log

log

1

x

x

+

= .

16. Wyznacz elementy zbioru

{

}

2
4

: log

9

A

x

x

x

=

< ∧ ∈C .

17. Dla jakich wartości parametru m równanie 9

3

1 0

x

x

m

m

− ⋅ + − = ma dokładnie jeden pierwiastek?

18. Przedstaw na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek

(

)

2

2

1
3

log

8

2

x

x

y

−

+

≥ − .

19. Rozwiąż równanie

4

log

log 4 2

x

x

+

= .

20. Przedstaw w najprostszej postaci liczbę

1

2

3

1 2

2

2

x

−

−

−

= +

+

+

+… .

21. Wyznacz dziedzinę funkcji

( )

(

)

(

)

(

)

2

1

log

2

log

3

log 16

f x

x

x

x

=

−

+

−

−

−

.

Klasa 3c

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Powtórzenie

 

22. Wykaż, że dodatnie rozwiązania równania

3

1

log tg

2

x

= − tworzą ciąg arytmetyczny.

23. Wyznacz

16

log 6 jeśli wiesz, że

2

log 12 a

= .

24. Wyznacz parametr m tak, aby wykres funkcji

49

log

3

y

x

m

=

− był prostopadły do wykresu funkcji

2

7

y

x

=

+ .

25. Dla jakich wartości parametru m funkcja

( )

(

)

2

2

4

4

1

m

f x

x

x

=

−

+

+ posiada minimum i dwa różne miejsca

zerowe?

26. Dla jakich wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu

( )

3

2

2

4

3

1

a

a

W x

x

x

x

=

+

−

+ przez dwumian

1

x

−

jest równa 2?

27. Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania

(

)

1

f x

m

− = w zależności od wartości

parametru m. Odpowiedź uzasadnij.

28. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji

( )

1

2

x

f x

+

=

i

( )

1

x

g x

x

+

=

. Na podstawie

wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania

( )

( )

f x

g x

=

.

29. Zbadaj, czy wykresy funkcji

4

3 2

x

x

y

=

− ⋅ i

25 2

5

x

y

−

=

⋅

+ mają wspólne punkty.

30. Wyznacz wartość wyrażenia

3

4

10

log 2 log 3

log 9

⋅

⋅ ⋅

…

.

31. Funkcja h jest określona wzorem

( )

(

)

(

)

2

2

2

log

4

log

5

h x

x

x

=

−

−

− . Wyznacz wszystkie wartości parametru k,

dla których równanie

( )

2

log

0

h x

k

−

= ma dwa różne pierwiastki.

32. Wykaż, że równanie

(

)

2

2

1

3

2 log

2

x

x

x

x

−

− −

− =

−

nie ma pierwiastków rzeczywistych.

33. Wykaż, że równanie

( )

log

x

x

− =

nie ma rozwiązań.

34. Dla jakich wartości a liczby

4

2

5

9

log 9, log

, log 2 log 25

a

⋅

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

35. Dla jakich wartości parametru m równanie

(

)

2

1

3

1

4

2

4

9

3

x

x

m

− −

−

=

ma takie dwa różne pierwiastki, że suma

odwrotności ich kwadratów jest równa 8?