Klasa 3c

Funkcje i ich własności 2

Powtórzenie

 

 

1. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n mniejszej od 6 liczbę

5

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

a) Sporządź wykres tej funkcji
b) Podaj zbiór wartości funkcji f.

2. Wyznacz dziedzinę funkcji

( )

3

10

9

f x

x

x

=

−

+ .

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji

( )

2

4

x

f x

mx

x

m

=

−

+

jest zbiór liczb

rzeczywistych.

4. Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których funkcja

( )

(

)

3

3

f x

m

x

m

=

−

+ − ma

nieskończenie wiele miejsc zerowych.

5. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n mniejszej od 7 liczbę

!

4!

n .

a) Sporządź tabelkę wartości tej funkcji.
b) Podaj zbiór wartości funkcji

( )

( )

4

g x

f x

= −

+ .

6. Wykaż, że funkcja

( )

2

3

2

4

4

4

x

f x

x

x

x

−

=

−

−

+

nie ma miejsc zerowych.

7. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji

( )

2

2

f x

mx

mx

=

−

+ jest zbiór liczb

rzeczywistych.

8. Funkcja f przyporządkowuje odciętą każdego punktu P należącego do prostej l o równaniu

2 0

y

− = jego

odległość od prostej : 3

4

2 0

k

x

y

+

− = .

a) Podaj wzór funkcji f.
b) Podaj zbiór wartości funkcji f.
c) Podaj współrzędne punktu, którego odległość od prostej k jest najmniejsza i podaj tę najmniejszą

odległość.

9. Odczytaj z wykresu odpowiedniej funkcji, dla jakich wartości parametru m równanie

4

x

m

− = ma dokładnie

4 rozwiązania.

10. Dana jest funkcja

( )

(

)

(

)

3

2

2

8

4

1

f x

m

x

m

x

=

−

+

−

+ .

a) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f osiąga wartość najmniejszą.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których osią symetrii wykresu funkcji f jest oś OY.

11. Dziedziną funkcji

( )

1

2

x

f x

x

−

=

−

jest przedział

f

D , a dziedziną funkcji

( )

(

)(

)

1

2

g x

x

x

=

−

−

jest przedział

g

D . Wyznacz

g

f

D

D

−

.

12. Dana jest funkcja f określona wzorem

( )

2

x

x

f x

+

=

. Podaj zbiór wartości tej funkcji.

13. Napisz wzór funkcji logarytmicznej f, jeśli wiadomo, że do jej wykresu należy punkt

1

, 1

4

P

⎛

⎞

=

−

⎜

⎟

⎝

⎠

. Podaj wzór

funkcji g, której wykres powstaje przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi OY.

14. Funkcja f każdemu parametrowi m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania

2

2

1 0

mx

x

+

− = . Podaj wzór

i narysuj wykres funkcji f.

15. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej różnej od zera należącej do przedziału 4; 4

−

liczbę

przeciwną do jej odwrotności.

a) Napisz wzór tej funkcji.
b) Sporządź wykres tej funkcji.
c) Sporządź wykres funkcji

( )

( )

g x

f x

=

.

d) Sporządź wykres funkcji

( )

( )

( )

h x

f x

f x

=

−

.

Klasa 3c

Funkcje i ich własności 2

Powtórzenie

 

 

16. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja

( ) (

)

2

1

2

f x

m

x

mx

m

=

−

+

− ma dokładnie 2

miejsca zerowe jednakowych znaków.

17. Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru m, dla której dziedziną funkcji

( )

2

1

f x

x

m

=

+

jest zbiór liczb

rzeczywistych i do jej wykresu należy punkt

(

)

2, 2

A

= −

.

18. Funkcja f przyporządkowuje odciętej każdego punktu P należącego do okręgu o równaniu

2

2

6

0

x

x

y

−

+

= jego

odległość od środka tego okręgu. Podaj wzór i dziedzinę funkcji f.

19. Podaj liczbę rozwiązań równania

2

6

x

x

m

−

= w zależności od wartości parametru m.

20. Dana jest funkcja

( )

(

)

(

)

2

5

4

1

f x

m

x

m

x

=

−

+

−

+ .

a) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f jest liniowa.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których do wykresu funkcji należy punkt

( )

1, 1

A

=

.

21. Dana jest funkcja określona wzorem

( )

(

)

2

1,

4; 2

log ,

2; 8

x

f x

x

x

⎧

∈ −

⎪

= ⎨

∈

⎪⎩

.

a) Narysuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
b) Narysuj wykres funkcji

( )

( )

g x

f

x

= − − .

22. Napisz wzór funkcji wykładniczej f, jeśli wiadomo, że do jej wykresu należy punkt

1

1,

3

P

⎛

⎞

= −

⎜

⎟

⎝

⎠

. Podaj wzór

funkcji g, której wykres powstaje przez odbicie symetryczne względem osi OX i podaj zbiór wartości tej
funkcji.

23. W urnie są 3 kule białe i 2 czarne. Z urny losujemy jednocześnie 3 kule. Funkcja f przyporządkowuje liczbom

naturalnym n prawdopodobieństwo wylosowania n kul białych. Sporządź tabelkę wartości funkcji f oraz podaj
jej miejsca zerowe.

24. Narysuj wykres funkcji

( )

(

)

sin

f x

x

x

=

+

dla

;

x

π π

∈ −

i podaj najmniejszą i największą wartość tej

funkcji w przedziale

;

6 4

π π

. Narysuj wykres funkcji

( )

( )

g x

f x

=

.

25. Rozwiąż równanie

(

)

1

2

1 10

0

x

x

x

− ⋅

− + − −

= .

26. Rozwiąż równanie 2

2

1

3

x

x

x

+ + − = + .

27. Wyznacz wszystkie wartości parametru k dla których funkcja

( )

(

)

2

3

5

f x

x

k

x

k

=

+

−

+ − ma dwa miejsca

zerowe, których suma kwadratów jest najmniejsza.

28. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(

)

2

3

1

0

mx

m

x

m

−

+

+ = nie ma rozwiązania w

zbiorze liczb rzeczywistych.

29. Dane jest równanie postaci

2

1

a

x

x

a

⋅ − = + , w którym niewiadomą jest x. Zbadaj liczbę rozwiązań tego

równania w zależności od wartości parametru a.

30. Suma trzech liczb całkowitych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej.

Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.