Klasa 3c

Liczby i ich zbiory 2 – poziom rozszerzony

Powtórzenie

 
1. Wymień elementy zbioru

{

}

2

:

6 0

A

x x

x

x

=

+

− < ∧ ∈C .

2. Wymień elementy zbioru

{

}

3

2

:

3

4

12

0

B

x x

x

x

=

−

−

−

=

.

3. Sprawdź, że liczba

(

)

3

2

2

1

4

3

3

3

1

81

0,027

3

125

6

16

a

−

−

−

−

⎛ ⎞

⎛

⎞

=

+

−

−

−

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎝ ⎠

⎝

⎠

jest wymierna.

4. Sprawdź, która liczba jest większa:

5

32

6

15 3

2

2 2

4

2

x

−

⋅

=

⋅

czy

3

3

4 1

y

=

−

.

5. W układzie współrzędnych naszkicuj zbiór \

A B

, jeśli

( )

}

{

2

2

,

:

4

0

A

x y

x

y

x

y

x

=

∈ ∧ ∈ ∧

+

−

≤

R

R

,

( )

}

{

,

:

0

B

x y

x

y

x

y

=

∈ ∧ ∈ ∧ − ≥

R

R

.

6. Niech

( )

}

{

,

:

5

A

x y

x

y

y

x

=

∈ ∧ ∈ ∧ ≥ +

R

R

i

( )

}

{

,

:

3

5

B

x y

x

y

y

x

=

∈ ∧ ∈ ∧ −

<

R

R

. Na płaszczyźnie

zaznacz zbiór punktów należących do zbioru A

B

∩ .

7. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają

warunek

(

)

2

2

4

16

x

x

y

+

+

=

.

8. Uzasadnij, że jeśli dwie dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio równe 2

oraz 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.

9. Uzasadnij, że liczba

4

17 12 2

+

jest równa 2 1

+ .

10.

Wykaż, że liczba

29 12 5 2 5

a

=

−

−

jest całkowita.

11.

Która z liczb

300

6

a

=

czy

500

3

b

=

jest większa?

12.

Porównaj liczby

4

5 2 6

3

2

a

=

−

⋅

+

oraz

9 4 5

14 6 5

b

=

−

+

−

.

13. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 24.

Wyznacz te liczby.

14.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość

(

)

1

1

1

1

1

x x

x

x

= −

+

+

.

Korzystając z tej równości oblicz wartość wyrażenia

1

1

1

1

4 5 5 6 6 7

9 10

W

=

+

+

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

…

.

15.

Dane są zbiory

{

}

3

: 5

5

30

x

x

A

x

+

=

∈

+

<

R

i

{

}

3

:

3

4 0

B

x

x

x

=

∈

+

− ≥

R

. Wyznacz zbiory

A

B

∩

oraz

A

B

∪

.

16.

Wyznacz zbiór

\

B A

, jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji

( )

(

)

2

2

5

log

1

2

x

x

f x

x

x

−

+

=

+

+

−

a zbiór

(

)

(

)

{

}

: 2log 2

2

log 2

10

log 2

x

x

B

x

=

∈

−

≤

+

+

R

.

17. Ojciec Marka chce złożyć w banku 5000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru dwa banki. W jednym

oprocentowanie półroczne wynosi 8%, a w drugim oprocentowanie roczne 17,5%. Wybór którego banku
byś mu doradził, jeśli w pierwszym banku odsetki dopisuje się co pół roku, a w drugim co rok?

18. Komputer kupowany za gotówkę kosztuje 2000 zł, a kupiony na raty jest o 20% droższy. Przy kupnie na

raty trzeba wpłacić 400 zł, a resztę w pięciu równych ratach. Jaka jest wysokość jednej raty?

19. Zwiększając o 3 pewną liczbę naturalną n, która jest większa od 50, zwiększamy ją o więcej niż 5,5%.

Jaka to liczba?

Klasa 3c

Liczby i ich zbiory 2 – poziom rozszerzony

Powtórzenie

 
20. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 12. Jeżeli do tej liczby dodamy 36 to otrzymamy również liczbę

dwucyfrową zapisaną tymi samymi cyframi, ale w odwrotnym porządku. Jaka to liczba?

21. Z całej ilości towaru a% sprzedano z zyskiem p%, zaś b% sprzedano z zyskiem q%. Jaki był zysk ze

sprzedaży pozostałej części towaru, jeśli ogólny procent zysku wynosi r%?

22. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych, które spełniają równanie

2

2

xy

x

y

+ +

= .

23. Uprość wyrażenie

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

A

+

−

=

+

+

+

−

−

.

24. Usuń niewymierność z mianownika ułamka

1

15

6

35

14

−

+

−

.

25. Oblicz

3

2 16

2

log

8

.

26. Wykaż, że siódmy wyraz rozwinięcia dwumianu

1

2

2

n

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

nie jest podzielny przez 55 jeśli wiesz, że

153

2

n

⎛ ⎞

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

27. Rozwiąż nierówność

2

7 10

x

x

+ − − <

.

28. Wykaż, że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to średnia arytmetyczna tych liczb jest niemniejsza od ich

średniej geometrycznej. Kiedy zachodzi równość?

29. Wykaż, że zbiór \

A B

jest jednoelementowy, jeśli

(

)

{

}

2

2

:

16

0

A

x

x

x

=

∈

−

≥

R

i

{

}

:

3

B

x

x

=

∈

>

R

.

30. Wykaż, że iloraz liczb postaci a b c

+

, gdzie a, b są liczbami wymiernymi i c nie jest kwadratem liczby

wymiernej, jest liczbą takiej samej postaci.