Liczby zespolone (cz. II)
1. Poniższe liczby i wyrażenia przedstawić w postaci trygonometrycznej:
√
(a)
3 − i,
(b) 1 + i tg ϕ, dla ϕ ∈ − π , π ,
2
2
(c) sin ϕ − i cos ϕ, dla ϕ ∈ − π , π ,
2
2
(d) 1+i tg ϕ , dla ϕ
0, π ,
1−
∈
i tg ϕ
2
(e) −6 + 6i,
(f) 1 · 1 ,
i
1+i
2. Poniższe wyrażenia sprowadzić do postaci algebraicznej (dwumiennej): (a) (1 + i)7 ,
6
(b)
1−i
√
,
3+i
14
(c) − cos π + i sin π
,
7
7
6
(d) 1 + cos π + i sin π
,
3
3
(e) (1 + i)7 − (2 − 2i)4 ,
(f) (1−i)5−1 .
(1+i)5+1
3. Znaleźć funkci ę ω : R → R spełniającą poniższe równanie: (a) cos 3x = ω(cos x),
(b) sin 5x = ω(sin x),
(c) ctg 4x = ω(ctg x).
4. Dla n ∈ N oraz x ∈ R obliczyć:
(a) 1 + cos x + . . . + cos nx,
(b) sin 2x + cos 3x + sin 4x + cos 5x + . . . + sin 2nx + cos (2n + 1) x.
5. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej poniższe zbiory: (a) {z ∈ C : |z − a| = b}, dla a ∈ C, b ∈ R,
(b) {z ∈ C : 2 < |z| 4},
(c) {z ∈ C : |z − a| = |z − b|}, dla a, b ∈ C, (d) {z ∈ C : |z − a| + |z − b| = c}, dla a, b ∈ C, c ∈ R, (e) {z ∈ C : Re (iz + 2) 0},
(f) {z ∈ C : Re z2 = 2 ∧ Im (z + 1)2 = 1},
(g) {z ∈ C : |z + 1| 2 ∧ Im (z + 1) 1},
(h) {z ∈ C : |z − 2| < 1 ∨ Re (z − 1) < −1},
(i)
z ∈ C : arg (z + iz) = 3π ,
2
(j)
z ∈ C : π arg i < π ,
4
z
2
1
(k)
z ∈ C : arg z4 = π ,
(l)
z ∈ C : arg z3 < π .
2
6. Obliczyć i zaznaczyć na płaszczyżnie zespolonej podane pierwiastki algebraiczne:
√
(a) 3 −8i,
√
(b) 6 −27,
√
(c) 4 − 1 + 3i,
2
2
√
(d)
−7 + 24i,
√
√ 3 √
6
(e) 3 z, gdzie 1 + i 3
3 − i z = (1 + i)12.
7. Odgadując jeden z pierwiastków obliczyć pozostałe:
√
(a) 3 −27i,
(b) 4 (2 − 2i)12.
8. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
√
(a) (z − 1)4 = 1 + i 3,
2
2
8
(b) (2z − 2)4 = 3
,
5 − i 4
5
(c) z4 − 2z2 + 5 = 0,
(d) (z + 2)n − (z − 2)n = 0, n ∈ N.
9. Ile wynosi suma wszystkich pierwiastków algebraicznych stopnia n z 1 ?
√
10. Jednym z wierzchołków sześciokąta foremnego jest w0 =
3 + i. Wyznaczyć
pozostałe wierzchołki tego wielokąta, wiedząc że jego środek leży w: (a) początku układu współrz ędnych,
√
(b) punkcie s0 = 2 3 + i.
11. Znaleźć funkci ę ϑ : C → C spełniającą poniższe równanie: (a) cos x = ϑ(eix),
(b) sin x = ϑ(eix),
(c) tg x = ϑ(eix).
12. Rozwiązać równanie:
(a) (z)6 = 4 z2 ,
(b) z6 = z.
|z|4
13. Znaleźć zależność, która łączy pi ęć najważniejszych stałych matematycznych: π, e—podstawa logarytmu naturalnego, i—jednostka urojona, 1—element neutralny mnożenia, 0—element neutralny dodawania1.
1 Przez wielu matematyków rozwiązanie tego zadania jest uznawane za najładniejszy wzór matematyczny.
2
Zadanie 1: a) 2 cos −π + i sin
;
6
−π6
b)
1
(cos α + i sin α) ;
cos α
c) cos − π + α + i sin
+ α ;
2
− π2
d) cos 2α + i sin 2α;
√
e) 6 2 cos 3π + i sin 3π ;
4
4
√
f)
2
cos
+ i sin
;
2
− 3π
4
−3π
4
Zadanie 2: a) 8 − 8i; b) − i ; c) 1; d)
;
8
−27; e) 72 − 8i; f) 53
Zadanie 3: a) (t) = 4t3 − 3t; b) (t) = 16t5 − 20t3 + 5t; c) (t) = t4−6t2+1 ; 4t(t2−1)
Zadanie 4: a) sin (n+1)x
2
cos nx , dla x
sin x
2
= 2kπ; n + 1, dla x = 2kπ, k ∈ Z;
2
b) sin nx (sin x (n + 1) + cos x (n + 2)), dla x sin
= kπ, −1, dla x = kπ, k ∈ Z;
x
√
√
√
√
√
√
√
Zadanie 6: a)
3 − i, − 3 − i, 2i; b) ±i 3, 3
3 ,
3 ;c) 3 + i 1,
3
2 ± i 2
−32 ± i 2
2
2 − 2 −
√
√
√
i 1 ,
+ i 3 , 1
3 ; d) 3 + 4i,
i,
3
.
2 − 1
2
2
2 − i 2
−3 − 4i; e) 12 ± 4 − i14
√
√
Zadanie 7: a) 3i, 3 3
i,
3
i; b)
2
− 32 −32 − 32
−16 − 16i, 16 − 16i, 16 + 16i, −16 + 16i;
√
√
√
√
√
Zadanie 8: a) 1 +
3 + 1 + i 1
3 , 1
1
3 + i 1 + 3, 1
3 + 1
4
2
2 − 4
−
2 − 4
2
4
−
4
2 −
√
√
√
i
1
3 , 1 +
1
3
1 + 3; b) 43
i, 26
i, 57
i, 74 + 7 i; c)
2 − 4
2 − 4 − i
2
4
50 − 24
50
50 − 7
50
50 − 24
50
50
50
√
√
√
√
√
√
√
√
1+ 5 +i
5−1 ,
1+ 5
5−1 ,
1+ 5
5−1 ,
1+ 5 +i
5−1 ;
2
2
−
2
−i
2
2
−i
2
−
2
2
d) −2 1+cos 2kπ +i sin 2kπ
n
n
, k = 1, . . . , n − 1;
1−cos 2kπ −i sin 2kπ
n
n
Zadanie 9: 0;
√
√
√
√
√
√
Zadanie 10: a) ±2i, ± 3+i, ± 3−i; b) 3+1, 3 3 + 1, 3 3+1
i, 5
3+1
i;
2
± 32 2
± 32
Zadanie 11: a) ϑ (t) = t+t−1 ; b) ϑ (t) = t−t−1 ; c) ϑ (t) = 1−t2 i; 2
2i
1+t2
√
Zadanie 12: a) 0,
2e−i kπ
3 , k = 0, . . . , 5; b) ei 2kπ
7
, k = 0, . . . , 13;
3