Kusztelak Liczby zespolone Zadania z odpowiedziami

background image

Liczby zespolone

mgr Grzegorz Kusztelak

LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI

Zadanie 1

Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż

)

Re(w oraz

)

Im(w

(a)

i

i

i

i

i

i

w

5

64

5

2

)

1

2

)(

2

(

)

1

(

)

16

1

(

4

2

=

+

+

+

=

5

2

)

Re(

=

w

oraz

5

64

)

Im(

=

w

(b)

i

i

w

=

=

135

0

)

Re(

=

w

oraz

1

)

Im(

=

w

(c)

i

i

i

i

i

w

4

1

4

)

2

2

(

)

1

(

63

2

2

=

=

+

=

0

)

Re(

=

w

oraz

4

1

)

Im(

=

w

Zadanie 2

Znaleźć postać trygonometryczną:
(a)

2

=

z

π

ϕ =

=

,

2

|

| z

(

)

π

π

sin

cos

2

i

z

+

=

(b)

i

z 5

=

π

ϕ

2

1

,

5

|

|

=

=

z

+

=

π

π

2

1

sin

2

1

cos

5

i

z

(c)

12

2 i

z

=

π

ϕ

3

5

,

4

|

|

=

=

z

+

=

π

π

3

5

sin

3

5

cos

4

i

z

(d)

i

z

2

2

+

=

π

ϕ

4

3

,

2

2

|

|

=

=

z

+

=

π

π

4

3

sin

4

3

cos

2

2

i

z

Zadanie 3

Niech

j

z

2

3

2

1

+

=

,

j

z

8

2

=

,

j

z

=

3

3

Oblicz:

(a)

i

z

z

+

=

3

16

16

2

1

(b)

8

3

1

=

z

z

(c)

i

4

3

4

1

2

1

=

z

z

(d)

i

z

z

=

3

1

3

1

(e)

12

12

1

4

=

z

(f)

i

z

z

75

99

3

12

1

2

1

=

(g)

3

1

z :

postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej

+

=

π

π

6

5

sin

6

5

cos

4

1

i

z

.

Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z

1

są 3 i wyrażają się wzorami

2

1

0

,

,

ω

ω

ω

+

=

π

π

ω

18

5

sin

18

5

cos

4

3

0

i

+

=

π

π

ω

18

17

sin

18

17

cos

4

3

1

i

background image

Liczby zespolone

mgr Grzegorz Kusztelak

+

=

π

π

ω

18

29

sin

18

29

cos

4

3

2

i

(h)

3

2

z :

postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej

+

=

π

π

2

3

sin

2

3

cos

8

2

i

z

.

Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z

2

są 3 i wyrażają się wzorami

2

1

0

,

,

ω

ω

ω

i

i

2

2

1

sin

2

1

cos

2

0

=

+

=

π

π

ω

i

i

=

+

=

3

6

7

sin

6

7

cos

2

1

π

π

ω

i

i

=

+

=

3

6

11

sin

6

11

cos

2

2

π

π

ω

(i)

3

1 i

− :

postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej:

+

=

π

π

4

7

sin

4

7

cos

2

i

z

.

Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby

i

z

=1

są 3 i wyrażają się wzorami

2

1

0

,

,

ω

ω

ω

+

=

+

=

π

π

π

π

ω

12

7

sin

12

7

cos

2

12

7

sin

12

7

cos

2

6

3

0

i

i

+

=

+

=

π

π

π

π

ω

12

15

sin

12

15

cos

2

12

15

sin

12

15

cos

2

6

3

1

i

i

+

=

+

=

π

π

π

π

ω

12

23

sin

12

23

cos

2

12

23

sin

12

23

cos

2

6

3

2

i

i

(j)

4

1

postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej

(

)

π

π

sin

cos

i

z

+

=

. Pierwiastki

trzeciego stopnia z liczby

1

=

z

są 4 i wyrażają się wzorami

3

2

1

0

,

,

,

ω

ω

ω

ω

i

i

+

=

+

=

2

2

4

1

sin

4

1

cos

0

π

π

ω

i

i

+

=

+

=

2

2

4

3

sin

4

3

cos

1

π

π

ω

i

i

=

+

=

2

2

4

5

sin

4

5

cos

2

π

π

ω

i

i

=

+

=

2

2

4

7

sin

4

7

cos

3

π

π

ω

(k)

3

8 :

postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej

(

)

0

sin

0

cos

8

i

z

+

=

. Pierwiastki

trzeciego stopnia z liczby

8

=

z

są 3 i wyrażają się wzorami

2

1

0

,

,

ω

ω

ω

(

)

2

0

sin

0

cos

2

0

=

+

=

i

ω

i

i

+

=

+

=

3

1

3

2

sin

3

2

cos

2

1

π

π

ω

background image

Liczby zespolone

mgr Grzegorz Kusztelak

i

i

=

+

=

3

1

3

4

sin

3

4

cos

2

2

π

π

ω

(l)

i

24

7 −

:

Pierwiastki drugiego stopnia z liczby

i

24

7

są 2 i wyrażają się wzorami

1

0

,

ω

ω

i

3

4

0

=

ω

i

3

4

1

+

=

ω

Zadanie 4

Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a)

0

9

2

=

+

x

i

x

i

x

3

3

=

=

(b)

0

5

2

=

+

x

i

x

i

x

=

=

5

5

(c)

0

25

2

=

x

5

5

=

=

x

x

(d)

0

5

2

2

=

+

x

x

i

x

i

x

2

1

2

1

+

=

=

(e)

0

13

6

2

=

+

x

x

i

x

i

x

2

3

2

3

+

=

=

(f)

0

2

2

=

+ x

x

1

2

=

=

x

x

(g)

0

5

1

)

2

(

2

=

+

j

x

j

x

i

x

i

x

+

=

=

1

2

3

Zadanie 5

Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów:

{

}

4

|

2

3

:|

=

+

=

i

z

C

z

A

-

okrąg o środku w punkcie

i

z

2

3

0

=

oraz promieniu

4

=

r

{

}

2

|

3

1

:|

=

+

=

i

z

C

z

B

- okrąg o środku w punkcie

i

z

3

1

0

+

=

oraz promieniu

2

=

r

{

}

2

|

3

|

1

:

<

+

<

=

i

z

C

z

D

-

pierścień o środku w punkcie

i

z

3

0

=

i odpowiednio zewnętrznym

promieniu

2

=

R

oraz wewnętrznym promieniu

1

=

r

{

}

|

2

|

|

3

2

:|

i

z

i

z

C

z

E

+

=

+

=

-

linia prosta o równaniu

1

+

= x

y

{

}

4

)

2

3

Im(

:

>

+

=

j

z

C

z

F

- półpłaszczyzna

2

>

y

{

}

2

)

3

Re(

:

<

+

=

j

z

C

z

G

- półpłaszczyzna

2

<

x

{

}

6

)

2

Re(

:

2

+

=

j

z

C

z

H

-

podzbiór płaszczyzny opisany wzorem

6

2

2

y

x

Zadanie 5a

Napisz równanie okręgu o środku w punkcie

0

z i promieniu R.

Odp.:

R

z

z

=

|

|

0

Zadanie 5b

Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów

1

z i

2

z (

1

z i

2

z - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)

Odp.:

|

|

|

|

2

1

z

z

z

z

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Liczby zespolone zadania i odpowiedzi cz 2
liczby zespolone, zadania z odpowiedziami
Liczby zespolone zadania i odpowiedzi cz 1
Liczby zespolone zadania, Zadanie 1
Liczby zespolone zadania
liczby zespolone zadania, Matematyka
liczby zespolone zadania z wykładu1
liczby zespolone zadania 2
ZAdania z matematyki, LICZBY ZESPOLONE 2010, LICZBY ZESPOLONE - ZADANIA
Liczby zespolone zadania
Liczby zespolone L.zespolone-zadania2

więcej podobnych podstron