autor: dr Barbara Biªy

Zadania z liczb zespolonych.

1. Znale¹¢ Re z, Im z dla liczb:

a) z =

(1 − i)

2

− i

(1 + i)

2

+ i

b) z =

(

√

3 + i)(−1 + i

√

3)

(1 + i)

2

c) z =

1

i

+

1

i

2

+

1

i

3

+

1

i

4

Odp. a) Re z = −1, Im z = 0

b) Re z = 1, Im z = −

√

3

c) Re z = 0, Im z = 0

2. Znale¹¢ liczby a, b ∈ R takie, »eby zachodziªa równo±¢:

a) a(−

√

2 + i) + b(3

√

2 + 5i) = 8i

b)

a

2 − 3i

+

b

3 + 2i

= 1

Odp. a) a = 3, b = 1

b) a = 2, b = 3

3. Rozwi¡za¢ równania w zbiorze Z:

a) (z − i)

2

= i

b) Re (z

2

− 2) = z

Odp.

a) z

1

=

√

2

2

+

1 +

√

2

2

i

b) z

1

= 1

z

2

= −

√

2

2

+

1 −

√

2

2

i

z

2

= 2

4. Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie Gaussa zbiór punktów speªniaj¡cych warunki:

a) |z − 2i|

2

+ 4

Im z = 8

b) Re (z · z

2

) = 2 ·

Re z · Im z

c)

z − 3

z + 1

≥ 1

d) |z − 1| < Im z + 2

Odp.

a) okr¡g x

2

+ y

2

= 4

b) okr¡g x

2

+ (y − 1)

2

= 1

i prosta x = 0

c) lewa póªpªaszczyzna ograniczona prost¡ x = 1
d) wn¦trze paraboli y >

1

4

x

2

−

1

2

x −

3

4

5. Obliczy¢

a)

1 + i

√

3

1 + i

20

Odp.

2

10

(cos

5
3

π + i sin

5
3

π)

b)

√

2 − i

√

6

1 − i

5

Odp.

2

5

(cos

−5

12

π + i sin

−5

12

π)

c)

−

1

2

− i

√

3

2

−11

Odp.

cos

4
3

π + i sin

4
3

π

d)

(1 + i)

12

· (−i)

10

(

√

3 + i)

2

· (1 − i

√

3)

4

Odp.

−1

6. Liczba z = 1 − i jest pierwiastkiem równania z

4

+ a = 0

. Znale¹¢ liczb¦ a oraz pozostaªe pierwiastki

tego równania.

Odp. a = 4, pierwiastki: 1 + i, −1 + i, −1 − i.

7. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki:

a)

√

−6 + 8i

Odp.

√

2 + 2

√

2i

; −

√

2 − 2

√

2i

b)

4

p

−8 + 8

√

3i

Odp.

√

3 + i

; −

√

3 − i

; −1 +

√

3i

; 1 −

√

3i

c)

3

s

√

3 − i

−2 + 2i

Odp.

1

6

√

2

(cos

13
36

π + i sin

13
36

π)

;

1

6

√

2

(cos

37
36

π + i sin

37
36

π)

;

1

6

√

2

(cos

61
36

π + i sin

61
36

π)

.

8. W zbiorze Z rozwi¡za¢ równania:

a) z

2

+ z + 1 = 0

Odp. z

1

=

−1 − i

√

3

2

;

z

2

=

−1 + i

√

3

2

.

b) z

4

− 2z

2

+ 4 = 0

Odp.

√

3 ± i

√

2

;

−

√

3 ± i

√

2

c) z

3

+ 8 = 0

Odp. −2; 1 + i

√

3; 1 − i

√

3

d) z

2

+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0

Odp. 1 − i; −2 − 3i