Klasa 3c

Liczby i ich zbiory – poziom rozszerzony

Powtórzenie 2009

 
1. Dane są przedziały:

(

)

; 5

A

= −∞

,

1; 6

B

= −

,

(

)

0;

C

=

+ ∞ . Wyznacz dopełnienie przedziału

(

)

\

A

B

C

∩

.

2. Na ponumerowanie stron książki zużyto 185 cyfr. Ile stron ma ta książka?

3. Oblicz wartość wyrażenia

2

10

25

1 5

x

x

U

x

−

+

=

− −

dla

8

7 3

x

=

+

. Wynik przedstaw w postaci

7

a

b

+

,

,

a b W

∈ .

4. Rozwiąż nierówność

2

6 5

1

x

x

x

x

−

− <

+ .

5. Porównaj liczby

3

10

7

8

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

i

2

4

3

5

1

2 4 32

16

b

−

−

⎛

⎞

=

⋅

⋅⎜ ⎟

⎝

⎠

.

6. Wyznacz wszystkie wartości liczby m, dla której część wspólna przedziałów

3

7;

A

m

= −

i

2

; 6

B

m

=

jest zbiorem jednoelementowym.

7. Suma pewnej liczby i jej odwrotności jest równa 7. Oblicz sumę sześcianu tej liczby i sześcianu jej

odwrotności.

8. Wykaż, że liczby a i b są równe, jeśli

3

90 2 116

a

=

−

,

3 2 2

b

=

− .

9. Rozwiąż równanie

3

6

5

2

5

1

3

6

2

x

x

x

x

+

−

−

− =

+

+

−

.

10. Sprawdź, że liczba

2

2 1

2 1

2

1

2

2 1

a

− −

+

=

−

−

+

jest wymierna.

11. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 12. Wyznacz

te liczby.

12. Porównaj liczby

20

10

x

=

i

10

90

y

=

.

13. Rozwiąż równanie

3 5

2

x

− − = .

14. Sprowadź wyrażenie

( )

1

1

1

1

1

2

2

2

1 1

2

a

b

a

b

a b

W

ab

b

b

a

a

b

−

−

⎡

⎤

+

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎢

⎥

=

−

⋅

⋅

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎢

⎥

⎝ ⎠

⎝ ⎠

+

⎢

⎥

⎣

⎦

do najprostszej postaci i oblicz jego

wartość dla

3,

2

a

b

=

=

. Wynik przedstaw w postaci

6

x

y

+ , gdzie x i y są liczbami wymiernymi.

15. Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.

16. Dane są przedziały

2
3

125

;

64

A

−

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

= −∞ ⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎜

⎟

⎝

⎠

i

6

;

4

B

⎛

⎞

⎛ ⎞

= −∞

⎜

⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝

⎠

. Wyznacz \

B A

.

17. Dane są zbiory

{

}

:

2

5

n

A

x x

n

n

+

=

=

∧ ∈

∧ ≤

N

,

{

}

:

4

7

B

x x

n

n

n

=

=

∧ ∈

∧ <

N

. Wymień elementy

tych zbiorów. Wyznacz \

A B

.

18. Wykaż, że liczba

6 4 2

3 2 2

a

=

−

+

−

jest liczbą naturalną.

Klasa 3c

Liczby i ich zbiory – poziom rozszerzony

Powtórzenie 2009

 

19. Usuń niewymierności z mianowników i wykonaj działanie:

3

3

3

1

3

6

4

6

−

−

. Wynik przedstaw w postaci

3

3

3

2, ,

a

b

a b W

+

∈ .

20. Która obniżka ceny jest większa: o 36% czy dwa razy po 18%? Ile powinna wynosić druga obniżka (tzn. 2

razy po tyle samo procent), aby w wyniku pierwszej i drugiej obniżki ceny końcowe były jednakowe?

21. Oblicz resztę z dzielenia

3

52485 przez 43.

22. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie

2

2

18

x

y

−

= .

23. Wykaż, że jeśli dwie liczby naturalne przy dzieleniu przez 5 mają równe reszty, to różnica kwadratów tych

dwóch liczb jest podzielna przez 5.

24. Liczby całkowite a, b, c przydzieleniu przez 7 dają reszty odpowiednio 1, 2, 3. Oblicz resztę z dzielenia

liczby

2

2

2

a

b

c

+

+ przez 7.

25. Przekształć podane wyrażenie pod pierwiastkiem do postaci iloczynowej, wyciągnij pierwiastek i bez

użycia kalkulatora oblicz wartość wyrażenia

3

2

2

3

W

a

a b

ab

b

=

−

−

+

dla

0,7879

a

=

i

0,2121

b

=

.

26. Wykaż, że kwadrat każdej liczby naturalnej n jest podzielny przez 9 lub reszta z dzielenia kwadratu tej

liczby przez 3 wynosi 1.

27. Zapisz za pomocą przedziałów dopełnienie w przestrzeni liczb rzeczywistych przedziału A B

∩ , gdzie A i

B to odpowiednio zbiory rozwiązań nierówności 3

2 10

x

− <

i

1 4

x

+ ≥ .

28. Wyznacz dopełnienie części wspólnej zbiorów

{

}

4

2

:

10

9 0

A

x

x

x

=

∈

−

+ ≤

R

i

{

}

:

4

3

B

x

x

=

∈

− <

R

w

przestrzeni liczb rzeczywistych.

29. Wyznacz wartość liczby

2 2 2 2

a

=

…

oraz

3

3

3

3

5 5 5 5

b

=

…

.

30. Wiedząc, że

2

2

2

5

x

x

+

= oblicz

4

4

4

x

x

+

oraz

2

x

x

− , gdy

2

0

x

x

− > .