Liczby i ich zbiory 2 – poziom rozszerzony Powtórzenie
1. Wymień elementy zbioru A = {
2
x : x + x − 6 < 0 ∧ x ∈ C} .
2. Wymień elementy zbioru B = {
3
2
x : x − 3 x − 4 x −12 = }
0 .
3
2
−
−
2
1
−
⎛ 1 ⎞
⎛ 81 4
⎞
3. Sprawdź, że liczba
−
a = (0,027)
3
3
3 +
−
− 3 −125
⎜ ⎟
⎜
⎟
jest wymierna.
⎝ 6 ⎠
⎝16 ⎠
5
−
32
6
2
2 ⋅ 2
3
4. Sprawdź, która liczba jest większa: x =
czy y =
.
15 3
4 ⋅ 2
3 4 −1
5. W układzie współrzędnych naszkicuj zbiór A \ B , jeśli A = (
{ x y)
2
2
,
: x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x + y − 4 x ≤ }
0 ,
B = (
{ x, y): x∈ R ∧ y∈ R ∧ x − y ≥ }
0 .
6. Niech A = (
{ x, y): x∈ R ∧ y∈ R ∧ y ≥ x +5}i B = ({ x, y): x∈ R ∧ y∈ R ∧ y −3 x < }5. Na płaszczyźnie zaznacz zbiór punktów należących do zbioru A ∩ B .
7. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek ( x + x )2
2
+ 4 y = 16 .
8. Uzasadnij, że jeśli dwie dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio równe 2
oraz 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.
9. Uzasadnij, że liczba 4 17 +12 2 jest równa 2 +1.
10. Wykaż, że liczba a = 29 −12 5 − 2 5 jest całkowita.
11. Która z liczb
300
a = 6
czy
500
b = 3
jest większa?
12. Porównaj liczby
4
a = 5 − 2 6 ⋅
3 + 2 oraz b = 9 − 4 5 + 14 − 6 5 .
13. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 24.
Wyznacz te liczby.
1
1
1
14. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość
= −
.
x ( x + )
1
x
x + 1
Korzystając z tej równości oblicz wartość wyrażenia 1
1
1
1
W =
+
+
+… +
.
4 ⋅ 5 5 ⋅ 6 6 ⋅ 7
9 ⋅10
15. Dane są zbiory = {
x
3
∈ R : 5 + 5 + x
A
x
< 3 }
0 i B = {
3
x ∈ R : x + 3 x − 4 ≥ }
0 . Wyznacz zbiory A ∩ B
oraz A ∪ B .
2
x − 2 x + 5
16. Wyznacz zbiór B \ A , jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji f ( x) =
+ log( x + )
1 a zbiór
2 − x
= { ∈ R: 2log(2 x − 2) ≤ log(2 x B
x
+10) + log }
2 .
17. Ojciec Marka chce złożyć w banku 5000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru dwa banki. W jednym oprocentowanie półroczne wynosi 8%, a w drugim oprocentowanie roczne 17,5%. Wybór którego banku byś mu doradził, jeśli w pierwszym banku odsetki dopisuje się co pół roku, a w drugim co rok?
18. Komputer kupowany za gotówkę kosztuje 2000 zł, a kupiony na raty jest o 20% droższy. Przy kupnie na raty trzeba wpłacić 400 zł, a resztę w pięciu równych ratach. Jaka jest wysokość jednej raty?
19. Zwiększając o 3 pewną liczbę naturalną n, która jest większa od 50, zwiększamy ją o więcej niż 5,5%.
Jaka to liczba?
Liczby i ich zbiory 2 – poziom rozszerzony Powtórzenie
20. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 12. Jeżeli do tej liczby dodamy 36 to otrzymamy również liczbę dwucyfrową zapisaną tymi samymi cyframi, ale w odwrotnym porządku. Jaka to liczba?
21. Z całej ilości towaru a% sprzedano z zyskiem p%, zaś b% sprzedano z zyskiem q%. Jaki był zysk ze sprzedaży pozostałej części towaru, jeśli ogólny procent zysku wynosi r%?
22. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych, które spełniają równanie xy + x + 2 y = 2 .
2 + 3
2 − 3
23. Uprość wyrażenie A =
+
.
2 + 2 + 3
2 − 2 − 3
1
24. Usuń niewymierność z mianownika ułamka
.
15 − 6 + 35 − 14
2
25. Oblicz log
.
3
2 16
8
1 n
⎛
⎞
26. Wykaż, że siódmy wyraz rozwinięcia dwumianu 2 +
⎜
⎟ nie jest podzielny przez 55 jeśli wiesz, że
⎝
2 ⎠
⎛ n⎞ =153
⎜ ⎟
.
⎝ 2⎠
27. Rozwiąż nierówność x + 2 − x − 7 <10 .
28. Wykaż, że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to średnia arytmetyczna tych liczb jest niemniejsza od ich średniej geometrycznej. Kiedy zachodzi równość?
29. Wykaż, że zbiór A \ B jest jednoelementowy, jeśli A = {
2
x ∈ R x ( 2
:
x −16) ≥ }
0 i B = { x∈ R : x > }
3 .
30. Wykaż, że iloraz liczb postaci a + b c , gdzie a, b są liczbami wymiernymi i c nie jest kwadratem liczby wymiernej, jest liczbą takiej samej postaci.