Polityka ochrony prywatności O Wikibooks Informacje prawne Dla deweloperów Komunikat na temat ciasteczek Wersja dla urządzeń mobilnych

Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

Tę stronę ostatnio edytowano 9 mar 2018, 21:56.

Tekst udostępniany na

licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach

, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o

warunkach korzystania

.

>

Matematyka dla liceum

>

Liczby i ich zbiory

> Działania na zbiorach

»

Spis treści

[

ukryj

]

1

Suma zbiorów

2

Iloczyn zbiorów

3

Różnica zbiorów

4

Dopełnienie zbioru

5

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Suma zbiorów

[

edytuj

]

DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak:

.

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Przykład.

Jeżeli

i

, to

. Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów

[

edytuj

]

DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:

. Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Przykład.

Jeśli

i

, to

. Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów

[

edytuj

]

DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:

. Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też

.

Jeśli

i

, to

. Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru

[

edytuj

]

DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako

lub

. Dopełnienie możemy zapisać tak:

.

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A:

. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Przykład.

Jeśli

, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór

.

Przykład.

Jeśli

, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór

, ponieważ:

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

[

edytuj

]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

-- I prawo De Morgana

-- II prawo De Morgana

-- przemienność dodawania zbiorów
-- przemienność mnożenia zbiorów

-- łączność dodawania zbiorów

-- łączność mnożenia zbiorów

-- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
-- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

Przykład.

Mamy zbiór

,

,

. Obliczyć

:

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)

«

Pojęcie zbioru

Spis treści

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

»

Moduł

Dyskusja

Czytaj

Edytuj

Wyświetl historię

Przeszukaj Wikibooks

Dodaj linki

Strona główna
Wikijunior
Księgozbiór
Książka kucharska
Pomoc
Portal użytkowników
Ostatnie zmiany
Losowa strona
Ogłoszenia
Kontakt

Drukuj lub eksportuj

Utwórz książkę
Pobierz jako PDF
Wersja do druku

Narzędzia

Szukaj w podręczniku
Linkujące
Zmiany w linkowanych
Prześlij plik
Strony specjalne
Link do tej wersji
Informacje o tej stronie
Cytowanie tego artykułu

Języki

Nie jesteś zalogowany

Dyskusja Edycje Utwórz konto Zaloguj się