03 Działania na zbiorach

background image

Metody dowodzenia twierdzeń

Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).

Metoda dowodu „przez sprzeczność” jest oparta na tautologii

(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).

1

background image

Metoda indukcji matematycznej

Przykład. Obliczyć 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczbą

naturalną.

Dyskusja. Wprowadźmy oznaczenie:

S

n

= 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).

Mamy: S

1

= 1, S

2

= 1 + 3 = 4, S

3

= 1 + 3 + 5 = 9, S

4

= 16,

S

5

= 25, S

6

= 36.

Widzimy, że powinno być S

n

= n

2

. Czy można to jakoś uzasad-

nić?

2

background image

Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne S

n

. Na

przykład, jeśli mamy już obliczone

S

6

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36,

to

S

7

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

nie będziemy liczyli od początku, tylko wykorzystamy zależność

S

7

= S

6

+ 13 = 36 + 13 = 49.

Podobnie

S

8

= S

7

+ 15 = 49 + 15 = 64

i tak dalej. Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do S

n

, żeby

otrzymać S

n+1

. Jeśli S

n

= n

2

, to

S

n+1

= S

n

+ (2

· (n + 1) − 1) = n

2

+ 2n + 1 = (n + 1)

2

.

3

background image

Zadanie. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1

1

· 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) =

n · (n + 1) · (n + 2)

3

.

Rozwiązanie.

I. Baza indukcji.

Dla n = 1 równość jest oczywista:

1

· 2 =

1

· 2 · 3

3

.

II. Krok indukcyjny.

Niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dana w

zadaniu równość zachodzi dla n = k:

1

· 2 + . . . + k · (k + 1) =

k · (k + 1) · (k + 2)

3

.

4

background image

Wówczas dla n = k + 1 mamy:

1

·2+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) =

k · (k + 1) · (k + 2)

3

+(k+1)·(k+2) =

= (k + 1) · (k + 2) · (

k

3

+ 1) =

(k + 1) · (k + 2) · (k + 3)

3

,

czyli dla n = k + 1 równość jest spełniona.

Na mocy zasady indukcji matematycznej równość

1

· 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) =

n · (n + 1) · (n + 2)

3

zachodzi dla dowolnego naturalnego n.

5

background image

Zadanie. Dowieść, że dla dowolnego n ≥ 0 liczba 2

2n+1

+ 3n + 7

jest podzielna przez 9.

Zasada indukcji:

(T (0) ∧ ∀

n∈N

(T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀

n∈N

T (n)

(T (1) ∧ ∀

n∈N

1

(T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀

n∈N

1

T (n)

6

background image

Dowieść, że dowolną liczbę naturalną większą od 1 można przed-

stawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Jeśli n jest liczbą

pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednego czynnika.)

Rozwiązanie.

Liczba n = 2 jest liczbą pierwszą, czyli iloczynem jednej liczby

pierwszej – samej siebie.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 2. Załóżmy,

że każdą liczbę naturalną mniejszą od n można przedstawić w

postaci iloczynu liczb pierwszych. Pokażemy, że n też można

przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

7

background image

Jeśli n jest liczbą pierwszą, to teza dla n zachodzi. Jeśli n jest licz-

bą złożoną, to można ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch

liczb od niej mniejszych: n = k · l, k, l < n. Na mocy założenia

zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p

1

· . . . · p

i

,

l = q

1

· . . . · q

j

, zatem n = k · l też, oczywiście można tak przedsta-

wić: n = p

1

·. . .·p

i

·q

1

·. . .·q

j

, co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Schemat powyższego dowodu:

I) Baza: T (2).

II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n) dla każdego n > 2.

8

background image

Sposoby określania zbiorów

1) Zbiór wszystkich elementów postaci f (t), gdzie t przebiega

zbiór T :

{f (t); t ∈ T }.

2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X spełniających warunek

ϕ(x):

{x ∈ X : ϕ(x)}.

3) Zbiór skończony możemy określić przez wypisanie jego ele-

mentów, np.

{n ∈ N

1

: n | 6} = {1, 2, 3, 6}.

9

background image

• Zbiór liczb parzystych możemy określić na dwa sposoby:

{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.

• Prostą o równaniu y = ax + b możemy określić jako zbiór

punktów o współrzędnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:

{(x, ax + b); x ∈ R}

lub jako zbiór tych punktów o współrzędnych (x, y), które

spełniają warunek y = ax + b:

{(x, y) ∈ R

2

: y = ax + b}.

10

background image

Ważny przykład zbiorów stanowią przedziały osi liczbowej.

(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},

[a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},

(

−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.

11

background image

Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B.

Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do
zbioru A lub do zbioru B:

(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).

Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elemen-
tów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).

Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą
do zbioru A, ale nie należą do zbioru B:

(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).

Oczywiście (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).

12

background image

Różnica symetryczna A ÷ B składa się z wszystkich elementów,

które należą do zbioru A, a nie należą do B, oraz tych, które

należą do B, a nie należą do A:

(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).

Zauważmy, że A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

13

background image

Przykłady:

[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3),

[0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2),

[0, 2) \ [1, 3) = [0, 1),

[0, 2) ∪ {2} = [0, 2],

(

−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),

[

−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),

[

−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].

Inny przykład:

{n ∈ N

1

: n | 12} ∩ {n ∈ N

1

: n | 18} = {n ∈ N

1

: n | 6}.

14

background image

Własności działań na zbiorach

Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości:

1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),

2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),

4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

15

background image

5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,

6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),

7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),

8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Takich równości można dowodzić dwiema metodami – rachunku

zdań (bardziej formalna) i diagramów Venne’a (bardziej obrazo-

wa).

16

background image

Inkluzja zbiorów

Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy

A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B,

czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie

(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).

Przykłady:

{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],

N

1

⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

17

background image

Własności:

1) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.

2) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.

3) Jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C.

4) Jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.

Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą

następujące równoważności:

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.

18

background image

Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go

symbolem ∅.

Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze:

∅ ⊂ A.

Jest tylko jeden zbiór pusty:

(∅

1

⊂ ∅

2

)

∧ (∅

2

⊂ ∅

1

)

⇒ (∅

1

= ∅

2

).

19

background image

Algebra podzbiorów danego zbioru

Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X

oznaczamy symbolem 2

X

, na przykład:

jeśli X = {a, b}, to 2

X

=

{∅, {a}, {b}, {a, b}},

jeśli X = {1, 2, 3}, to

2

X

=

{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Twierdzenie.

Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2

X

ma

2

n

elementów.

Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory,

to zbiór X nazywamy przestrzenią lub uniwersum.

20

background image

Dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A

0

=

X \ A. Dla każdego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie

x ∈ A

0

⇔∼ (x ∈ A).

Zachodzą następujące zależności:

A ∩ A

0

= ∅, A ∪ A

0

= X,

(A

0

)

0

= A,

0

= X,

X

0

= ∅.

21

background image

Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:

(A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

,

(A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

.

Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na

przykład:

(A ∪ B ∪ C)

0

= A

0

∩ B

0

∩ C

0

,

(A ∩ B ∩ C ∩ D)

0

= A

0

∪ B

0

∪ C

0

∪ D

0

.

22


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Prawa działań na zbiorach
DZIALANIA NA ZBIORACH
377 dzialania na zbiorach
Dzialania na zbiorach
zestaw01 dzialania na zbiorach
Nieskończone działania na zbiorach
DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Prawa działań na zbiorach
Matematyka dla liceum Liczby i ich zbiory Działania na zbiorach Wikibooks, biblioteka wolnych podrę
dzialania na zbiorach
DZIAŁANIA NA ZBIORACH
377 dzialania na zbiorach
Zbiory i działania na zbiorach
zestaw01 dzialania na zbiorach
04 Rozdział 03 Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych
04 Rozdział 03 Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych

więcej podobnych podstron