Metody dowodzenia twierdzeń
Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
Metoda dowodu „przez sprzeczność” jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).
1
Metoda indukcji matematycznej
Przykład. Obliczyć 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczbą
naturalną.
Dyskusja. Wprowadźmy oznaczenie:
S
n
= 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).
Mamy: S
1
= 1, S
2
= 1 + 3 = 4, S
3
= 1 + 3 + 5 = 9, S
4
= 16,
S
5
= 25, S
6
= 36.
Widzimy, że powinno być S
n
= n
2
. Czy można to jakoś uzasad-
nić?
2
Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne S
n
. Na
przykład, jeśli mamy już obliczone
S
6
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36,
to
S
7
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
nie będziemy liczyli od początku, tylko wykorzystamy zależność
S
7
= S
6
+ 13 = 36 + 13 = 49.
Podobnie
S
8
= S
7
+ 15 = 49 + 15 = 64
i tak dalej. Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do S
n
, żeby
otrzymać S
n+1
. Jeśli S
n
= n
2
, to
S
n+1
= S
n
+ (2
· (n + 1) − 1) = n
2
+ 2n + 1 = (n + 1)
2
.
3
Zadanie. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1
1
· 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) =
n · (n + 1) · (n + 2)
3
.
Rozwiązanie.
I. Baza indukcji.
Dla n = 1 równość jest oczywista:
1
· 2 =
1
· 2 · 3
3
.
II. Krok indukcyjny.
Niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dana w
zadaniu równość zachodzi dla n = k:
1
· 2 + . . . + k · (k + 1) =
k · (k + 1) · (k + 2)
3
.
4
Wówczas dla n = k + 1 mamy:
1
·2+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) =
k · (k + 1) · (k + 2)
3
+(k+1)·(k+2) =
= (k + 1) · (k + 2) · (
k
3
+ 1) =
(k + 1) · (k + 2) · (k + 3)
3
,
czyli dla n = k + 1 równość jest spełniona.
Na mocy zasady indukcji matematycznej równość
1
· 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) =
n · (n + 1) · (n + 2)
3
zachodzi dla dowolnego naturalnego n.
5
Zadanie. Dowieść, że dla dowolnego n ≥ 0 liczba 2
2n+1
+ 3n + 7
jest podzielna przez 9.
Zasada indukcji:
(T (0) ∧ ∀
n∈N
(T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀
n∈N
T (n)
(T (1) ∧ ∀
n∈N
1
(T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀
n∈N
1
T (n)
6
Dowieść, że dowolną liczbę naturalną większą od 1 można przed-
stawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Jeśli n jest liczbą
pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednego czynnika.)
Rozwiązanie.
Liczba n = 2 jest liczbą pierwszą, czyli iloczynem jednej liczby
pierwszej – samej siebie.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 2. Załóżmy,
że każdą liczbę naturalną mniejszą od n można przedstawić w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Pokażemy, że n też można
przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
7
Jeśli n jest liczbą pierwszą, to teza dla n zachodzi. Jeśli n jest licz-
bą złożoną, to można ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch
liczb od niej mniejszych: n = k · l, k, l < n. Na mocy założenia
zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p
1
· . . . · p
i
,
l = q
1
· . . . · q
j
, zatem n = k · l też, oczywiście można tak przedsta-
wić: n = p
1
·. . .·p
i
·q
1
·. . .·q
j
, co kończy dowód kroku indukcyjnego.
Schemat powyższego dowodu:
I) Baza: T (2).
II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n) dla każdego n > 2.
8
Sposoby określania zbiorów
1) Zbiór wszystkich elementów postaci f (t), gdzie t przebiega
zbiór T :
{f (t); t ∈ T }.
2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X spełniających warunek
ϕ(x):
{x ∈ X : ϕ(x)}.
3) Zbiór skończony możemy określić przez wypisanie jego ele-
mentów, np.
{n ∈ N
1
: n | 6} = {1, 2, 3, 6}.
9
• Zbiór liczb parzystych możemy określić na dwa sposoby:
{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.
• Prostą o równaniu y = ax + b możemy określić jako zbiór
punktów o współrzędnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:
{(x, ax + b); x ∈ R}
lub jako zbiór tych punktów o współrzędnych (x, y), które
spełniają warunek y = ax + b:
{(x, y) ∈ R
2
: y = ax + b}.
10
Ważny przykład zbiorów stanowią przedziały osi liczbowej.
(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
[a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
(
−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
11
Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B.
Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do
zbioru A lub do zbioru B:
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elemen-
tów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą
do zbioru A, ale nie należą do zbioru B:
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).
Oczywiście (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).
12
Różnica symetryczna A ÷ B składa się z wszystkich elementów,
które należą do zbioru A, a nie należą do B, oraz tych, które
należą do B, a nie należą do A:
(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).
Zauważmy, że A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
13
Przykłady:
[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3),
[0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2),
[0, 2) \ [1, 3) = [0, 1),
[0, 2) ∪ {2} = [0, 2],
(
−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),
[
−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),
[
−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].
Inny przykład:
{n ∈ N
1
: n | 12} ∩ {n ∈ N
1
: n | 18} = {n ∈ N
1
: n | 6}.
14
Własności działań na zbiorach
Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości:
1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
15
5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,
6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),
7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Takich równości można dowodzić dwiema metodami – rachunku
zdań (bardziej formalna) i diagramów Venne’a (bardziej obrazo-
wa).
16
Inkluzja zbiorów
Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy
A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B,
czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).
Przykłady:
{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],
N
1
⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
17
Własności:
1) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.
2) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.
3) Jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C.
4) Jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.
Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą
następujące równoważności:
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.
18
Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go
symbolem ∅.
Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze:
∅ ⊂ A.
Jest tylko jeden zbiór pusty:
(∅
1
⊂ ∅
2
)
∧ (∅
2
⊂ ∅
1
)
⇒ (∅
1
= ∅
2
).
19
Algebra podzbiorów danego zbioru
Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X
oznaczamy symbolem 2
X
, na przykład:
jeśli X = {a, b}, to 2
X
=
{∅, {a}, {b}, {a, b}},
jeśli X = {1, 2, 3}, to
2
X
=
{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Twierdzenie.
Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2
X
ma
2
n
elementów.
Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory,
to zbiór X nazywamy przestrzenią lub uniwersum.
20
Dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A
0
=
X \ A. Dla każdego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie
x ∈ A
0
⇔∼ (x ∈ A).
Zachodzą następujące zależności:
A ∩ A
0
= ∅, A ∪ A
0
= X,
(A
0
)
0
= A,
∅
0
= X,
X
0
= ∅.
21
Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:
(A ∪ B)
0
= A
0
∩ B
0
,
(A ∩ B)
0
= A
0
∪ B
0
.
Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na
przykład:
(A ∪ B ∪ C)
0
= A
0
∩ B
0
∩ C
0
,
(A ∩ B ∩ C ∩ D)
0
= A
0
∪ B
0
∪ C
0
∪ D
0
.
22