PRAWA   DZIAŁAŃ  

                    NA  

ZBIORACH

-4          10
        4
11                 8

Już wiemy, że na zbiorach – a konkretnie na ich 

elementach można wykonywać różne działania. 

Działania te zapiszemy w postaci praw 

matematycznych, 

a niektóre z nich udowodnimy.

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DOTYCZĄCE ZBIORÓW:

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A
A ∩ A = A

(1)I prawo de Morgana dla zbiorów:

          „Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B jest    

   

                   iloczynem dopełnień tych zbiorów”

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

 

(2) II prawo de Morgana dla zbiorów:  

         „Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów A i B jest 

      

                         sumą dopełnień tych zbiorów”

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

PRAWA DZIAŁAŃ: 

    

(3) przemienność sumy zbiorów A i B: 

                            A ∪ B = B ∪ A

(4) łączność sumy zbiorów: 

                   A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 

(5) przemienność iloczynu zbiorów A i B: 

                
                           

A ∩ B = B ∩ A 

(6) łączność iloczynu zbiorów : 

                

                   (A 

∩

 B) 

∩

 C = A 

∩

 (B 

∩

 C) 

(7) rozdzielność iloczynu zbiorów względem ich 
sumy: 

                

                   A 

∩

 (B ∪ C) = (A 

∩

 B) ∪ (A 

∩

 C) 

(8) rozdzielność sumy zbiorów względem ich 
iloczynu: 

                

                   A ∪ (B 

∩

 C) = (A ∪ B) ∩ (A 

∪

 C) 

Przeprowadźmy dowód wybranych praw:

(1) 
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈ 

(A ∪ B)’ 

⇔ ∽[x ∈ (A ∪ B)] ⇔ ∽[x ∈ A 

∨

 x ∈ B] ⇔ 

[∽(x ∈ A)] ∧ [∽(x ∈ B)] ⇔ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇔ x ∈ 

A’ ∩ B’

                           

(A ∪ B)’ = A’

 ∩ 

B’

(3)
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈

 (A ∪ B) 

⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ 

(B ∪ 

A)

         A ∪ B = B ∪ A 

(6)
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈ 

[(A

 ∩ 

B) 

∩

 C] 

⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔ 

[x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x 
∈ C] ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔ x ∈ 

[A 

∩

 (B 

∩

 C)]

Pozostałe prawa spróbuj sam udowodnić.

       [(A 

∩

 B)

∩

 C] = [A

 ∩ 

(B 

∩

 C)] 

Zadanie 1. 

Zapisz matematycznie zbiory i wypisz elementy 
należące do  niego.
A – zbiór liczb całkowitych, których wartość     
      bezwzględna jest mniejsza od 4.
B – zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest 
      niewiększy od 30.
C – zbiór liczb naturalnych, których liczba 4 jest 
      dzielnikiem.

 ROZWIĄZANIE:

       A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

  C = { 4, 8, 12, 16, ……}

Zadanie 2.

W klasie I jest 40 osób, wśród których:
14 osób lubi matematykę,
6 osób lubi matematykę i język polski,
7 osób lubi język polski i język obcy,
2 osoby – wszystkie trzy przedmioty,
21 osób język polski, reszta tylko język obcy.

Narysuj i uzupełnij graf i odpowiedz:
a) ile osób lubi tylko język obcy,
b) ile osób lubi dokładnie jeden przedmiot,
c) ile osób nie lubi języka obcego,
d) ile osób lubi dokładnie dwa przedmioty.

 

ROZWIĄZANIE:

 Zbiory podpiszmy nazwami przedmiotów. 

Z grafu odczytamy rozwiązania i zapiszemy ilość uczniów:

a)  11
b)  29

c)  22

d)  9

język obcy

matematyka

język polski

  

5

 

 

2

 

4

8

10

11

Zadanie 3.

Narysuj i uzupełnij graf jeżeli:
X = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 };  
Y = { 1, 2, 3, 6, 7, 8 }; 
Z = { 1, 2, 5, 6 }
X

 

∩

 

Y 

∩

 Z = { 1, 2 }

X  

∩

 Y = { 1, 2, 3 }

X 

∩

 Z = { 1, 2 }

Y 

∩

 Z = { 1, 2, 6 }

 ROZWIĄZANIE 

przedstawione będzie na grafie.

(zaczynamy od uzupełnienia części 

wspólnej trzech zbiorów, potem części 

wspólnej dwóch zbiorów, a na końcu 

uzupełniamy zbiory: X, Y i Z) 

 

X

Z

Y

   
5

         

9      
        

4         

   

 10 

7   
             
 8

6

3

1   
   
   
2

Zadanie 4.

Wiedząc, że:
A = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 }   B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
C = { 1, 2, 5, 6 }
wyznacz: 
(A 

∩

 B) \ C                           (A 

∪

 B) \ C 

A \ (B 

∩

 C)                            A \ B

(A \ B) 

∩

 C                            B \ (C

 ∪ 

A)

                                

 ROZWIĄZANIE: 

(A 

∩

 B) \ C = { 1, 2, 3 } \ C = { 3 } 

(A ∪ B) \ C  = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10 } \  C = { 3, 4, 7, 9, 
10 }
A \ (B 

∩

 C) = A \ { 1, 2, 6 } = { 3, 4, 9, 10 } 

A \ B = { 4, 9, 10 }
(A \ B) 

∩

 C = { 4, 9, 10 } 

∩

 C = ∅ 

B \ (C ∪ A) = B \ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 } = { 7 } 

 

Zadanie 5.

Ze  słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i 
spółgłoski. Wypisz elementy należące do zbiorów:
A – zbiór  samogłosek
B – zbiór spółgłosek
Wyznacz zbiory:
A \ B ;   B \ A;   A ∩ B;   A ∪ B

                                        

 ROZWIĄZANIE: 

wypiszmy najpierw elementy zbioru A i B.
A = { e, i, o, y }
B = { b, c, l, r, w, z } 
A \ B = { e, i, o, y } = A
B \ A = { b, c, l, r, w, z } = B
A

 ∩ 

B = ∅

A ∪ B = { b, c, e, i, l, o, r, w, y, z } 

Zadanie 6.

Co będzie częścią wspólną zbiorów A i B jeżeli:
A – zbiór czerwonych bluzeczek
B – zbiór czerwonych spódniczek

                          

 ROZWIĄZANIE: 

Częścią wspólną tych zbiorów będzie zbiór pusty.
               A ∩ B = ∅.

Zadanie 7.

Dane są zbiory:
A – zbiór czworokątów
B – zbiór kwadratów
C – zbiór trójkątów równobocznych
D – zbiór prostokątów
E – zbiór trójkątów
X – zbiór figur płaskich

Narysuj zbiory, podzbiory 
do treści zadania.
Wyznacz zbiory:  
A’,  E’, 
A ∩

 

E, A\ E,  D 

∩

 A, 

A ∩ B, E ∩ C

X

E

D

C

B

A

 ROZWIĄZANIE 
A’ = E
E’ = A
A ∩ E = ∅
A \ E = A
D ∩ A = D
A ∩ B = B
E ∩ C = C