Nieskończone działania na zbiorach

1. Rozważmy ciąg zbiorów (A_n). Określamy:

Wykaż, że lim inf A_n lim sup A_n.

1. Mówimy, że ciąg zbiorów (A_n) jest zbieżny do granicy A, jeśli lim inf A_n = lim sup A_n.

Definiujemy wtedy A = lim inf A_n = lim sup A_n = lim A_n.

1. Wykaż, że każdy rosnący ciąg zbiorów jest zbieżny;

2. Wykaz, że każdy malejący ciąg zbiorów jest zbieżny.

3. Wykaż, że: a) b)

c)

d)

4. Niech A_ι⊂ X dla ι∈I, niech J⊂I. Wykaż, że

Dowiedź, że

5.

6.

7. jeśli f: I → I jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to

8. jeśli f: I → I jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to

9. jeśli A_i ⊃ A_i+1 oraz B_i ⊃ B_i+1 dla i = 1, 2, …, to

10. jeśli F_n ⊂ F₀ dla n = 0, 1, 2, …, to