Zastosowania funkcji kwadratowej

Czasami, rozważając jakiś problem, możemy opisać zależność między badanymi wielkościami za pomocą funkcji kwadratowej. Korzystając z własności tej funkcji, możemy wówczas odpowiedzieć na pytania dotyczące tych wielkości.

Przykłady

1. Z drutu długości 100 cm zrobiono szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Przy jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej ma wartość największą ?

Rozwiązanie

Oznaczmy krawędź podstawy przez x, a krawędź boczną przez y. Wówczas krawędzie obu podstaw mają długość 8x. Ponieważ razem wszystkie krawędzie prostopadłościanu mają długość 100 cm, więc cztery krawędzie boczne mają długość

x 4y = 100 - 8x

Zatem jedna krawędź boczna y ma długość

y =

y = 25 - 2x

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól wszystkich jego ścian. Stąd

P = 2x² + 4xy

Pola dwóch podstaw Pola czterech ścian bocznych

będących kwadratami będących prostokątami

Po podstawieniu y = 25 - 2x otrzymujemy

P = 2x² + 4x(25-2x)

P = 2x² + 100x - 8x²

P = -6x² + 100x

Otrzymaliśmy funkcję kwadratową, która osiąga wartość największą, gdyż a < 0. Sporządzamy jej wykres. W tym celu wyznaczamy współrzędne wierzchołka.

a = -6 b = 100 c = 0

Δ = b² - 4ac = 100² - 4⋅0⋅(-6) = 100²

(p)
=

(q)
=

Funkcja osiąga największą wartość dla x =
.

Odp. Pole powierzchni całkowitej jest największe i wynosi
, gdy długość krawędzi

podstawy wynosi
.

2. W centrali telefonicznej pewnej firmy można dokonać 325 różnych wewnętrznych połączeń. Ile wewnętrznych telefonów ma ta firma ?

Rozwiązanie

Jeżeli liczbę telefonów oznaczymy przez x, to z każdego telefonu można wykonać x - 1 wewnętrznych połączeń. Przy każdym wewnętrznym połączeniu zajęte są dwa telefony, wobec tego liczba możliwych połączeń wynosi
. Otrzymujemy więc równanie

=325 /⋅ 2

x(x-1) = 650

x² - x - 650 = 0

Rozwiązując to równanie kwadratowe otrzymamy szukaną liczbę telefonów.

a = 1 b = -1 c = -650

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4⋅1⋅(-650) = 1 + 2600=2601

Δ >0, więc są dwa rozwiązania

i

i

i

x₁ = -25 i x₂ = 26

Ponieważ liczba telefonów nie może być liczbą ujemną, więc jedynym rozwiązaniem jest 26.

3. Średnia dzienna produkcja mleka w pewnym gospodarstwie wzrastała przez dwa lata o ten sam procent w skali roku. Na początku wynosiła 450 litrów, na końcu 648 litrów. Ile procent wynosił przyrost produkcji ?

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez x procent wzrostu produkcji, to po pierwszym roku produkcja wynosiła 450 + 450
.

Po drugim roku produkcja będzie wynosiła 450(1 +
) + 450(1 +
)
.

Stąd mamy równanie

450(1 +
) + 450(1 +
)
= 648

Po przekształceniu

450(1 +
) (1 +
)= 648

450(1 +
)² = 648 / : 450

(1 +
)² =

(1 +
)² = 1,44

(1 +
)² = 1,2² lub (1 +
)² = (-1,2)²

1 +
=1,2 lub 1 +
= -1,2

= 1,2 -1 lub
= -1,2 -1

=0,2 /⋅100 lub
=-2,2 /⋅100

x = 20 lub x = -220

Ponieważ wzrost produkcji był dodatni, więc drugie rozwiązanie musimy odrzucić.

Odp. Produkcja mleka wzrastała z roku na rok o 20%.

4. W ustalonej płycie w kształcie prostokąta o bokach 6,8 dm i 4,6 dm należy wyciąć otwór prostokątny o polu 9,68 dm² tak, aby krawędzie otworu znajdowały się w jednakowej odległości od odpowiednich krawędzi płyty. Znajdź szerokość otrzymanej ramy.

Rozwiązanie

Oznaczmy szerokość ramy przez x.

x

x

4,6 dm

6,8 dm

Wówczas wymiary otworu mają długości (6,8 - 2x) i (4,6 - 2x). Mamy zatem równanie

(6,8 - 2x)(4,6 - 2x) = 9,68

31,28 - 13,6x - 9,2x + 4x² -9,68 = 0

4x² - 22,8x + 21,6 = 0

a = 4 b = -22,8 c = 21,6

Δ = b² - 4ac = (-22,8)² - 4⋅4⋅21,6 = 519,84 - 345,6 = 174,24

Δ >0, więc są dwa rozwiązania

lub

lub

lub

lub

x₁ = 1,2 lub x₂ = 4,5

Ale szerokość ramy jest mniejsza od 4,6 : 2 = 2,3 i stąd jedynym rozwiązaniem zadania jest x = 1,2 dm.

Odp. Szerokość ramy wynosi 1,2 dm.

5. Będąc na wycieczce uczniowie dokonali zakupów na łączna sumę 300 zł. Gdyby uczniów było o 5 mniej, to przy tej samej łącznej sumie, średni wydatek na jednego ucznia byłby o 30 zł większy. Ilu uczniów było na wycieczce ?

Rozwiązanie

Jeśli początkową liczbę uczniów oznaczymy przez y, a późniejszą liczbę uczniów przez x, to jedno równanie ma postać

y - x = 5

Średni wydatek przypadający na jednego ucznia jest początkowo równy
, a potem
. Drugie równanie ma postać
-
=30

W ten sposób otrzymaliśmy układ dwóch równań

x² + 5x - 50 = 0

a = 1 b = 5 c = -50

Δ = b² - 4ac = 5² - 4⋅1⋅(-50) = 25 + 200 = 225

Δ >0, więc są dwa rozwiązania

lub

lub

lub

lub

x₁ = -10 lub x₂ = 5

lub

lub

lub

Ponieważ liczba uczniów jest dodatnia, wobec czego x = 5 i y = 10.

Odp. Na wycieczce było 10 uczniów.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania : 1,2 str. 242, 4, 5,6 str. 243, 9 str.244 z podręcznika.

---