Przesuwanie paraboli

Krzywą, która jest wykresem funkcji y = ax², gdzie a ≠ 0, nazywamy parabolą. Jej wierzchołek leży w początku układu współrzędnych, a kierunek i rozwartość ramion są uzależnione od wartości współczynnika a.

Jeśli a>0, to ramiona paraboli skierowane są do góry .

Ramiona paraboli

Rys.1 Wierzchołek paraboli

Jeśli a<0, to ramiona paraboli skierowane są w dół.

Rys.2

Parabola będąca wykresem funkcji postaci y = ax² jest symetryczna względem osi y.

Rozwartość ramion paraboli jest uzależniona od wartości współczynnika a - im on jest liczbą bliższą zeru, tym ramiona są bardziej rozwarte.

y = 3x² (czerwony) y = 2x² (niebieski) y =
x² (zielony)

Rys.3

y = -3x² (czarny) y = -2x² (żółty) y = -
x² (bordowy)

Ćwiczenie 1

Wykonaj ćwiczenia A,B str. 220 z podręcznika.

Poniższe parabole przedstawiają funkcję y = -2x² (niebieska) po przesunięciu:

y = -2(x - 2)² (czerwona), y = -2(x + 1)² (zielona), y = -2(x + 4)² (żółta)

Rys.4

Aby otrzymać takie funkcje musieliśmy dokonać przesunięcia danej paraboli wzdłuż osi x w lewo bądź w prawo. Współrzędne wierzchołka otrzymanych parabol to odpowiednio punkty: (2,0), (-1,0), (-4,0). Jeśli współrzędne wierzchołka paraboli y =2x² oznaczymy (p,0), wówczas otrzymane parabole możemy ogólnie zapisać wzorem

y = a(x - p)².

Ćwiczenie 2

Wykonaj ćwiczenie C str. 221 z podręcznika.

Na poniższym rysunku
przedstawiono parabolę funkcji y = 2x² oraz trzy parabole funkcji powstałych w wyniku przesunięcia jej wzdłuż osi y w górę lub w dół.

y = 2x² - 3, y = 2x² + 2, y = 2x² - 1

Rys.6

W wyniku przesunięcia paraboli zmieniły się współrzędne jej wierzchołka. Ogólnie można je zapisać (0,q). Wówczas wzór funkcji po przesunięciu przyjmuje postać

y = ax² + q.

Ćwiczenie 3

Wykonaj ćwiczenia D, E, F str. 221 z podręcznika.

Jeśli dokonamy przesunięcia paraboli jednocześnie wzdłuż osi x i wzdłuż osi y otrzymamy parabolę będącą wykresem funkcji opisanej wzorem

y = a(x - p)² + q

gdzie p, q oznaczają współrzędne wierzchołka otrzymanej paraboli.

Poniższy rysunek przedstawia parabolę funkcji y = 2x² (niebieski) oraz parabole powstałe w wyniku przesunięcia jej:

o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół y = 2(x - 2)² - 1 (żółty)

o 3 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę y = 2(x - 3)² + 1 (zielony)

o 1 jednostkę w lewo i 3 jednostki w dół y = 2(x + 1)² - 3 (czerwony)

rys.7

Zadanie 7 str. 225 (podręcznik)

1. a>0 i q<0, tzn. że ramiona paraboli są skierowane do góry, a jej wierzchołek znajduje się poniżej osi x. Zatem parabola musi przecinać os x w dwóch miejscach. Pierwsza współrzędna tych punktów to miejsca zerowe funkcji y = a(x - p)² + q. (patrz : rysunek 7 powyżej - czerwony, żółty)

2. a ≠ 0 i q = 0

Parabola „dotyka” osi x w jednym miejscu, a ramiona mogą być skierowane do góry lub w dół (rysunek 4)

3. a<0 i q<0

Ramiona paraboli skierowane są w dół, a jej wierzchołek znajduje się poniżej osi x, zatem funkcja nie ma punktów wspólnych z osią x (cały wykres „leży” poniżej osi x).

Poniższy schemat przedstawia zależności istnienia (i ilości) miejsc zerowych funkcji

y = a(x - p)² + q

q = 0 a>0 i q<0 a< 0 i q>0

ma jedno miejsce zerowe, gdy ma dwa miejsca zerowe, gdy

Wykres funkcji

ma wierzchołek y = a(x - p)²+q powstał

w punkcie (p,q) dla a
0 w wyniku przesunięcia

o wektor [p,q]

nie ma miejsc zerowych, gdy

a<0 i q<0 a>0 i q>0

Ćwiczenie 4

Rozwiąż zadania: 1 str. 223, 3,5 str.224 z podręcznika.

---