Równania kwadratowe z parametrem

Typowymi, a zarazem ważnymi zadaniami, dotyczącymi funkcji kwadratowej są zadania z parametrem dotyczące liczby pierwiastków. Oto kilka przykładów dotyczących tego typu zadań.

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji f(x)= x² - 4x, a następnie wykresy funkcji

f(x)=x² - 4x + 4
f(x)=x² - 4x + 7
f(x)=x² - 4x - 2

Rozwiązanie

Wykresy powyższych funkcji naszkicowane w jednym układzie współrzędnych wyglądają następująco

Funkcje f(x)=x² - 4x + 4 f(x)=x² - 4x + 7 f(x)=x² - 4x - 2 powstają w wyniku przesunięcia funkcji f(x)= x² - 4x odpowiednio o wektory [0,4], [0,7] , [0,-2].

Proszę zauważyć, że wzory wszystkich tych trzech funkcji można zapisać za pomocą jednego ogólnego wzoru f(x)=x²-4x+m, w którym m może być równe 4, 7, -2 oraz innym wartościom. Taki zapis funkcji kwadratowej nazywamy funkcją kwadratową z parametrem. W zależności od wartości parametru funkcja tego typu posiada różne własności. I tak :

- dla m
(-
:4) funkcja f(x)=x² - 4x+m ma dwa miejsca zerowe,
- dla m = 4 funkcja f(x)=x² - 4x+m ma jedno miejsce zerowe,
- dla m
(4;+
) funkcja f(x)=x² - 4x+m nie ma miejsc zerowych

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru m :

1. funkcja y = x² - 2mx + m² - 3

2. funkcja kwadratowa y = mx² - mx + 1

3. funkcja y = (m+1)x² - x + m - 1

ma jedno miejsce zerowe ?

Rozwiązanie

1. dana funkcja y = x² - 2mx + m² - 3 jest funkcją kwadratową, więc aby miała jedno miejsce zerowe musi być spełniony warunek
   . Wyznaczamy wartość Δ korzystając ze wzoru Δ = b² - 4ac.

a = 1 b = -2m c = m² - 3

Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4⋅1⋅( m² - 3) = 4m² - 4m² + 12 = 12

Ponieważ nie jest spełniony warunek
dla żadnego m.

Odp. Funkcja ma jedno miejsce zerowe dla m∈∅.

2. funkcja y = mx² - mx + 1 ma być kwadratową i mieć jedno miejsce zerowe, zatem współczynnik przed x² musi być różny od zera (a≠0) oraz
   . Stąd otrzymujemy

a = m b = -m c = 1

a ≠0 ⇒ m ≠ 0

Δ = b² - 4ac = (-m)² - 4⋅m⋅1 = m² - 4m

⇒ m² - 4m = 0

m(m - 4) = 0

m = 0 lub m - 4 = 0

m = 4

Biorąc pod uwagę wszystkie warunki

m ≠ 0 i (m = 0 lub m = 4)

otrzymujemy szukaną wartość parametru m = 4.

Odp. Funkcja y = mx² - mx + 1 ma jedno miejsce zerowe dla m∈{4}.

3. y = (m+1)x² - x + m - 1

W tym przypadku należy rozpatrzyć dwie możliwości: pierwsza, gdy współczynnik stojący przy x² jest równy zero, druga - gdy jest on różny od zera.

a = m + 1 b = -1 c = m - 1

Gdy a = 0 ⇒ m + 1 = 0 ⇒ m = -1

Wówczas nasza funkcja staje się funkcją liniową o wzorze y = -x - 2 (do wzoru funkcji podstawiamy m = -1). Taka funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Gdy a ≠ 0 ⇒ m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1

Wówczas otrzymujemy funkcje kwadratową. Aby ona miała jedno miejsce zerowe musi być spełniony warunek
.

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4⋅(m + 1)⋅(m - 1) = 1 - 4(m² - 1 ) = 1 - 4m² +4 =

=3 - 4m²

3 - 4m² = 0 ⇒ (
)(
)=0

=0 lub
=0

-2m = -
/: (-2) lub 2m = -
/:2

m =
lub m =

Odp. Funkcja ma jedno miejsce zerowe dla m ∈ {-1, -
,
}.

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru p równanie x² + px + p + 5 = 0 ma dwa rozwiązania, które są liczbami dodatnimi ?

Rozwiązanie

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, jeżeli Δ > 0.

a = 1 b = p c = p + 5

Δ = b² - 4ac = (p)² - 4⋅1⋅(p + 5) = p² - 4p² - 20

Δ > 0 ⇒ p² - 4p² - 20 > 0

p² - 4p² - 20 = 0

a₁ = 1 b₁ = -4 c₁ = -20

Δ₁ = b₁² - 4a₁ c₁ = (-4)² - 4⋅1⋅(-20) = 16 + 80 = 96

lub

lub

p₁ p₂

p ∈ (-∞; 2-2
) ∪ (2+2
; +∞)

Aby rozwiązania równania były liczbami dodatnimi ich iloczyn i suma muszą być dodatnie. Jeżeli x₁, x₂ oznaczają rozwiązania równania, to x₁⋅x₂ > 0 i x₁ + x₂ > 0. Sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowe można wyznaczyć korzystając ze wzorów Viete'a

x₁⋅x₂ =
i x₁ + x₂ =
.

x₁⋅x₂ =
=

p + 5 > 0

p > -5

p∈(-5; +∞)

x₁ + x₂ =
=-
=-p

-p > 0

p < 0

p∈(-∞; 0)

Równanie będzie miało dwa rozwiązania będące liczbami dodatnimi, gdy

p∈((-∞; 2-2
) ∪ (2+2
; +∞)) ∩ (-5; +∞) ∩ (-∞; 0)

(bierzemy część wspólna wszystkich otrzymanych rozwiązań poszczególnych warunków)

Zatem p ∈(-5; 2-2
).

Odp. Równanie x² + px + p + 5 = 0 ma dwa rozwiązania, które są dodatnie,

gdy p ∈(-5; 2-2
).

---