Lista nr 1 – odpowiedzi
GP, sem.II, studia stacjonarne, 2011/12
Wykresy i własności funkcji
2. a)
y
2 sin 3
x − π
2
2
sin 3
x − π
= sin 3 x − π
1
2
6
x
π
2 π
π
4 π
5 π
3
2 π
3
3
3
− 1
sin x
sin(3 x)
− 2
Przekształcenia:
sin x → sin(3 x) → sin 3 x − π
→ 2 sin 3 x − π
6
6
Własności:
D = R, Y = h− 2; 2 i, f ↑: x ∈ 0 + 2 π k; π + 2 π k , f ↓: x ∈ π + 2 π k; 2 π + 2 π k , k ∈ Z .
3
3
3
3
3
3
3
b)
y
− sin
x − π
1
4
x
π
π
3 π
2
2 π
2
− 1
sin x
sin
x − π
4
Przekształcenia:
sin x → sin x − π → − sin x − π
4
4
Własności:
D = R, Y = h− 1; 1 i, f ↑: x ∈ 3 π + 2 kπ; 7 π + 2 kπ , f ↓: x ∈ −π + 2 kπ; 3 π + 2 kπ , k ∈ Z .
4
4
4
4
1
c)
y
1+ 1 cos(2 |x|)
2
1
1 cos(2 |x|)
2
x
π
−π
−π
π
2
2
− 1
cos x
cos(2 x) = cos(2 |x|)
Przekształcenia:
cos x → cos(2 x) = cos(2 |x|) → 1 cos(2 |x|) → 1 + 1 cos(2 |x|) 2
2
Własności:
D = R, Y = h 1 ; 3 i, f ↑: x ∈ π + kπ; π + kπ , f ↓: x ∈ 0 + kπ; π + kπ , k ∈ Z .
2 2
2
2
d)
y
2
1
2 cos 1 |x|
2
x
− 2 π
−π
π
2 π
cos x
− 1
cos 1
x
= cos 1 |x|
2
2
− 2
− 1 + 2 cos 1 |x|
2
− 3
Przekształcenia:
cos x → cos 1 x = cos 1 |x| → 2 cos 1 |x| → − 1 + 2 cos 1 |x|
2
2
2
2
Własności:
D = R, Y = h− 3; 1 i, f ↑: x ∈ ( − 2 π + 4 kπ; 0 + 4 kπ), f ↓: x ∈ (0 + 4 kπ; 2 π + 4 kπ) , k ∈ Z .
2
e)
y
4
3
tg
x − π
4
2
tg x
1
1
2 tg
x − π
4
x
π
−π
−π
π
3 π
2
2
2 π
2
− 12 tg x − π 4
tg
x − π
− 1
4
− 2
− 3
− 4
− 5
Przekształcenia:
tg x → tg x − π → tg x − π → 1 tg x − π → − 1 tg x − π
4
4
2
4
2
4
Własności:
n
o
D = R \ 3 π + kπ, k ∈ Z , Y = ( −∞; 0 i, 4
f ↑: x ∈ 3 π + kπ; 5 π + kπ , f ↓: x ∈ π + kπ; 3 π + kπ , k ∈ Z .
4
4
4
4
3
f)
y
4
3
tg |
x| + π
2 tg |x| + π
3
3
2
tg x
tg
x + π
3
1
x
π
2 π
−π
− 2 π
−π
π
4 π
5 π
3
3
3
2 π
3
3
3
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
Przekształcenia:
tg x → tg x + π → tg |x| + π → 2 tg |x| + π
3
3
3
Własności:
n
o
n
o
D = R \
π
+ kπ, k ∈ N ∪ { 0 } ∪ −π − kπ, k ∈ N ∪ { 0 }
, Y = R,
6
6
n
o
n
o
f ↑: x ∈ R
π
+ \
+ kπ, k ∈ N ∪ { 0 } , f ↓: x ∈ R
−π − kπ, k ∈ N ∪ { 0 }
6
− \
6
4
g)
y
4
3
2
ctg x
| ctg(2 |x|) |
1
x
π
−π
−π
π
2
2
ctg(2 x)
− 1
ctg(2 |x|)
− 2
− 3
− 4
− 5
Przekształcenia:
ctg x → ctg(2 x) → ctg(2 |x|) → | ctg(2 |x|) |
Własności:
n
o
D = R \ k π , k ∈ Z , Y = h 0; ∞), 2
f ↑: x ∈ π + k π ; π + k π , f ↓: x ∈ 0 + k π ; π + k π , k ∈ Z
4
2
2
2
2
4
2
5
h)
y
4
3
2
ctg x
2 ctg x + π 2
1
x
π
−π
−π
π
2
2
ctg |x|
− 1
ctg x + π 2
− 2
− 3
− 4
− 5
Przekształcenia:
ctg x → ctg |x| → ctg x + π → 2 ctg x + π
2
2
Własności:
n
o
D = R \ π + kπ, k ∈ Z , Y = R, 2
f ↑: x ∈ −π − kπ; π − kπ , k ∈ Z , k < 0, f ↓: x ∈ −π + kπ; π + kπ , k ∈ N ∪ { 0 }
2
2
2
2
6