Lista nr 1 – odpowiedzi

GP, sem.II, studia stacjonarne, 2011/12

Wykresy i własności funkcji

2. a)

y

2 sin 3

x − π

2

2

sin 3

x − π

= sin 3 x − π

1

2

6

x

π

2 π

π

4 π

5 π

3

2 π

3

3

3

− 1

sin x

sin(3 x)

− 2

Przekształcenia:

sin x → sin(3 x) → sin 3 x − π

→ 2 sin 3 x − π

6

6

Własności:

D = R, Y = h− 2; 2 i, f ↑: x ∈ 0 + 2 π k; π + 2 π k , f ↓: x ∈ π + 2 π k; 2 π + 2 π k , k ∈ Z .

3

3

3

3

3

3

3

b)

y

− sin

x − π

1

4

x

π

π

3 π

2

2 π

2

− 1

sin x

sin

x − π

4

Przekształcenia:

sin x → sin x − π → − sin x − π

4

4

Własności:

D = R, Y = h− 1; 1 i, f ↑: x ∈ 3 π + 2 kπ; 7 π + 2 kπ , f ↓: x ∈ −π + 2 kπ; 3 π + 2 kπ , k ∈ Z .

4

4

4

4

1

c)

y

1+ 1 cos(2 |x|)

2

1

1 cos(2 |x|)

2

x

π

−π

−π

π

2

2

− 1

cos x

cos(2 x) = cos(2 |x|)

Przekształcenia:

cos x → cos(2 x) = cos(2 |x|) → 1 cos(2 |x|) → 1 + 1 cos(2 |x|) 2

2

Własności:

D = R, Y = h 1 ; 3 i, f ↑: x ∈ π + kπ; π + kπ , f ↓: x ∈ 0 + kπ; π + kπ , k ∈ Z .

2 2

2

2

d)

y

2

1

2 cos 1 |x|

2

x

− 2 π

−π

π

2 π

cos x

− 1

cos 1

x

= cos 1 |x|

2

2

− 2

− 1 + 2 cos 1 |x|

2

− 3

Przekształcenia:

cos x → cos 1 x = cos 1 |x| → 2 cos 1 |x| → − 1 + 2 cos 1 |x|

2

2

2

2

Własności:

D = R, Y = h− 3; 1 i, f ↑: x ∈ ( − 2 π + 4 kπ; 0 + 4 kπ), f ↓: x ∈ (0 + 4 kπ; 2 π + 4 kπ) , k ∈ Z .

2

e)

y

4

3

tg

x − π

4

2

tg x

1

1

2 tg

x − π

4

x

π

−π

−π

π

3 π

2

2

2 π

2

− 12 tg x − π 4

tg

x − π

− 1

4

− 2

− 3

− 4

− 5

Przekształcenia:

tg x → tg x − π → tg x − π → 1 tg x − π → − 1 tg x − π

4

4

2

4

2

4

Własności:

n

o

D = R \ 3 π + kπ, k ∈ Z , Y = ( −∞; 0 i, 4

f ↑: x ∈ 3 π + kπ; 5 π + kπ , f ↓: x ∈ π + kπ; 3 π + kπ , k ∈ Z .

4

4

4

4

3

f)

y

4

3

tg |

x| + π

2 tg |x| + π

3

3

2

tg x

tg

x + π

3

1

x

π

2 π

−π

− 2 π

−π

π

4 π

5 π

3

3

3

2 π

3

3

3

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

Przekształcenia:

tg x → tg x + π → tg |x| + π → 2 tg |x| + π

3

3

3

Własności:

n

o

n

o

D = R \

π

+ kπ, k ∈ N ∪ { 0 } ∪ −π − kπ, k ∈ N ∪ { 0 }

, Y = R,

6

6

n

o

n

o

f ↑: x ∈ R

π

+ \

+ kπ, k ∈ N ∪ { 0 } , f ↓: x ∈ R

−π − kπ, k ∈ N ∪ { 0 }

6

− \

6

4

g)

y

4

3

2

ctg x

| ctg(2 |x|) |

1

x

π

−π

−π

π

2

2

ctg(2 x)

− 1

ctg(2 |x|)

− 2

− 3

− 4

− 5

Przekształcenia:

ctg x → ctg(2 x) → ctg(2 |x|) → | ctg(2 |x|) |

Własności:

n

o

D = R \ k π , k ∈ Z , Y = h 0; ∞), 2

f ↑: x ∈ π + k π ; π + k π , f ↓: x ∈ 0 + k π ; π + k π , k ∈ Z

4

2

2

2

2

4

2

5

h)

y

4

3

2

ctg x

2 ctg x + π 2

1

x

π

−π

−π

π

2

2

ctg |x|

− 1

ctg x + π 2

− 2

− 3

− 4

− 5

Przekształcenia:

ctg x → ctg |x| → ctg x + π → 2 ctg x + π

2

2

Własności:

n

o

D = R \ π + kπ, k ∈ Z , Y = R, 2

f ↑: x ∈ −π − kπ; π − kπ , k ∈ Z , k < 0, f ↓: x ∈ −π + kπ; π + kπ , k ∈ N ∪ { 0 }

2

2

2

2

6