Lista 7
Całki podwójne
1. Obliczyć podane całki iterowane:
ln 4
ln 3
ln 3
ln 4
Z
Z
Z
Z
a)
dx
e x+ ydy
b)
dy
e x+ ydx
0
0
0
0
y
3
x+3
4
2
Z
Z
Z
Z
c)
dx
(3 y + 2 x) dy
d)
dy
(3 + y + x) dx
√
1
x
0
y
2. Obliczyć podane całki podwójne po prostokątach:
Z Z
a)
xy 2 dxdy, D = [0 , 1] × [ − 1 , 1]; D
Z Z
π π
π
b)
sin( x + y) dxdy, D = [ − ,
] × [0 ,
];
4 4
4
D
Z Z
c)
e x−ydxdy, D = [ − 1 , 1] × [ − 1 , 1].
D
Z Z
3. Zamienić całkę podwójną
f ( x, y) dxdy na całki iterowane, jeśli obszar D jest ograniczony D
liniami:
a) y = 2 x, y = 3 − x, y = 0;
b) ( x − 1)2 + ( y + 7)2 = 9;
c) x = 1 , y = x, y 2 = 9 x.
4. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: Z Z
a)
( x + y) dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 2 x, y = 3 − x, y = 0; D
Z Z
b)
( x 2 − y + 3) dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 0 , y = x, y = 2 x − 4.
D
5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: Z Z
a)
e −( x 2+ y 2) dxdy, gdzie D : x 2 + y 2 ¬ 2; D
Z Z
b)
xydxdy, gdzie D : x 0 , 1 ¬ x 2 + y 2 ¬ 2; D
Z Z
c)
( x + y) dxdy, gdzie D : y 0 , x 2 + y 2 ¬ x.
D
6. Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami: a) x 2 + y 2 − 2 y = 0 , z = x 2 + y 2 , z = 0; b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 z = 0; c) x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , z = 0;
√
d) 6 − z = x 2 + y 2 , z =
x 2 + y 2;
e) y 2 = x, y 2 = 2 x, x = 2 , z = x 2 + y 2 , z = 0 , y 0 .
7. Obliczyć pola podanych płatów:
a) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ¬ 1; b) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x 2 + y 2 − Rx ¬ 0 , z 0;
√
c) z =
x 2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2 .