Lista 12
Całki oznaczone
1. Obliczyć całki oznaczone:
e √
1
a
2
Z
4 1 + ln x
Z
dx
Z
x
Z
a)
dx
b)
c)
x cos
dx
d)
x e2 xdx
x
(2 x + 1)3
a
1
0
−a
0
2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:
a) parabolą 4 y = 8 x − x 2 i prostą 4 y = x + 6; b) krzywą y = x 3 i prostymi y = x, y = 2 x;
√
c) krzywymi y = 4 − x 2, y = 3 x i prostą y = 0; d) prostymi y = 0, y = x, y = 2 x − 4; e) parabolami y 2 = x, x 2 = 8 y;
f) prostymi x + y = 1 , x + y = 2 , x − y = 0 , 2 x − y = 0; g) krzywymi y 2 = −x, y = x − 6 , y = − 1 , y = 4.
3. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A( − 1 , − 1) , B(3 , 3) , C( − 3 , 2).
4. Obliczyć długość łuku krzywej:
a) y 2 = ( x − 1)3 od punktu A(2 , − 1) do B(5 , − 8); b) x = a( t − sin t) , y = a(1 − cos t) , 0 ¬ t ¬ 2 π; c) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬ π .
4
5. Obliczyć obwód figury ograniczonej liniami x 2 = y + 1 i y = 4.
6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami: a) y 2 = 2 px, x = a wokół osi OX;
b) xy = 4 , y = 0 , x = 1 , x = 4 wokół osi OX; c) y = cos x (jedną falę), y = 0 wokół osi OY ; d) x 2 + y 2 = 9 wokół osi OY .
7. Obliczyć pola powierzchni powstałych przez obrót łuku krzywej:
a) x 2 + y 2 = 4 wokół osi OX;
b) y = x− 1 od punktu A(1 , 0) do punktu B(10 , 1) wokół osi OY ; 9
√
c) y = x 2 , 0 ¬ x ¬
3 wokół osi OY ;
2
√
d) y =
x(1 − 1 x) , 1 ¬ x ¬ 3 wokół osi OX.
3