BUDOWNICTWO, SEMESTR II
1
Lista 8
Całki potrójne
1. Obliczyć podane całki potrójne:
a)
1
R
−1
dx
1
R
0
dy
2
R
0
(x
2
+ y
2
+ z
2
)dz;
b)
1
R
0
dz
π
4
R
0
dy
2
R
0
x cos ydx;
c)
RRR
V
(2x − y + 3z)dxdydz, gdzie V = [−1, 1] × [0, 1] × [2, 4];
d)
RRR
V
x
yz
dxdydz, gdzie V = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3];
e)
RRR
V
yx
2
sin zdxdydz, gdzie V = [0, 1] × [−1, 1] × [0,
π
2
];
f)
RRR
V
e
2z+y−x
dxdydz, gdzie V = [0, ln 2] × [0, ln 3] × [0, 1].
2. Całkę potrójną
RRR
V
f (x, y, z)dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V
ograniczony jest powierzchniami:
a) 2x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0;
b) y =
√
x
2
+ z
2
, y = 1;
c) x
2
+ y
2
= R
2
, z = 0, z = 8 − x
2
− y
2
.
3. Obliczyć całki:
a)
RRR
V
zdxdydz, jeżeli V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami
x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
b)
RRR
V
z
√
x
2
+ y
2
dxdydz po obszarze V ograniczonym płaszczyznami
współrzędnych oraz powierzchniami x
2
+ y
2
− 2z = 0 i x
2
+ y
2
+ z
2
− 3 = 0
jeśli x 0, y 0, z 0.
c)
RRR
V
4z
3
dxdydz po obszarze V ograniczonym powierzchniami
x
2
+ y
2
+ z
2
− 1 = 0 i x
2
+ y
2
+ z
2
− 2z = 0.