BUDOWNICTWO, SEMESTR I
Lista 12
Całki oznaczone
1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
e
Z
1
4
√
1 + ln x
x
dx
b)
1
Z
0
dx
(2x + 1)
3
c)
a
Z
−a
x cos
x
a
dx
d)
2
Z
0
xe
2x
dx
2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:
a) parabolą 4y = 8x − x
2
i prostą 4y = x + 6;
b) krzywą y = x
3
i prostymi y = x, y = 2x;
c) krzywymi y = 4 − x
2
, y = 3
√
x i prostą y = 0;
d) prostymi y = 0, y = x, y = 2x − 4;
e) parabolami y
2
= x, x
2
= 8y;
f) prostymi x + y = 1, x + y = 2, x − y = 0, 2x − y = 0;
g) krzywymi y
2
= −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.
3. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(−1, −1), B(3, 3), C(−3, 2).
4. Obliczyć długość łuku krzywej:
a) y
2
= (x − 1)
3
od punktu A(2, −1) do B(5, −8);
b) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π;
c) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
4
.
5. Obliczyć obwód figury ograniczonej liniami x
2
= y + 1 i y = 4.
6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami:
a) y
2
= 2px, x = a wokół osi OX;
b) xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 wokół osi OX;
c) y = cos x (jedną falę), y = 0 wokół osi OY ;
d) x
2
+ y
2
= 9 wokół osi OY .
7. Obliczyć pola powierzchni powstałych przez obrót łuku krzywej:
a) x
2
+ y
2
= 4 wokół osi OX;
b) y =
x−1
9
od punktu A(1, 0) do punktu B(10, 1) wokół osi OY ;
c) y =
x
2
2
, 0 ¬ x ¬
√
3 wokół osi OY ;
d) y =
√
x(1 −
1
3
x), 1 ¬ x ¬ 3 wokół osi OX.