FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Zad.1. Wyznaczyć dziedzinę oraz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

a)

 

y

x

y

x

f



,

b)

 

y

x

y

x

f



,

c)

 

y

xe

y

x

f





,

d)

 

y

x

xy

arctg

y

x

f







1

,

e)

 

x

y

e

y

x

f

sin

,



f)

 

y

e

y

x

f

xy

ln

,



Zad.2. Dla danych funkcji wyznaczyć dziedzinę oraz wskazane pochodne cząstkowe:

a)

 

2

3

,

x y

f x y

x e





,

y

x

f

2



b)

 

y

x

e

x

y

x

f





3

,

,

y

x

f







3

4

c)

 

















2

cos

2

,

2

y

x

y

x

f

,



























x

f

y

f

y

d)

 

2

arcsin

,

x

y

y

e

y

x

f

x







,

xy

f



Zad.3. (E, 2 pkt.) Sprawdzić, czy:

a)

 





y

x

y

e

y

x

f

x

sin

cos

,





spełnia równanie

x

y

f

y

x

f















2

2

,

b)

 

y

x

arctg

y

x

f



,

spełnia równanie

2

3

2

3

y

x

f

x

y

f















c)





ln

x

y

z

e

e





spełnia równanie

2

2

2

2

2

2

z

z

z

x

y

x y













 







 





d)

x

y

x

z

sin



spełnia równanie

z

y

z

y

x

z

x













2

2

e)

xy

e

y

x

f



)

,

(

spełnia równanie

x

y

f

y

x

f















2

2

Zad.4. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:

a)

 

1

2

3

2

,

2

2













y

x

y

xy

x

y

x

f

b)

 

3

,

2





y

x

xe

y

x

f

c)

 

2

4

ln

3

ln

,

y

xy

y

x

y

x

f









d)

 





2

2

2

,

y

x

e

y

x

f

y

x







e)

  







2

2

2

4

1

3

,









y

x

y

x

f

f)

 

xy

y

x

y

x

f







27

27

,

g)

 

1

1

,

2









x

x

y

y

x

f

h)

 

y

x

y

x

xy

y

x

f

ln

2

ln

2

,









