1

WYKŁAD 10

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

2

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Def.

Otoczeniem O(P

0

,r) punktu P

0

przestrzeni



nazywamy zbiór:





,   



: 



,   

Sąsiedztwem S(P

0

,r) punktu P

0

przestrzeni



nazywamy zbiór:





,  



,  \





Def.

Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze

  



o wartościach w

nazywamy

przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję
taką oznaczamy przez

:  
lub  ,  .

Funkcją f trzech zmiennych określoną na zbiorze

  



o wartościach w

nazywamy

przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję
taką oznaczamy przez

:  
lub  , ,  .

Def.

Ciąg

punktów



!

"

#

, 



#

, … , 



#

% przestrzeni



jest

zbieżny

do

punktu



&

!

"



, 





, … , 





% tej przestrzeni, jeżeli odległość 



,  dąży do zera, gdy '  ∞:

lim

#,





&

Def. (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)

Niech





, 







oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie





, 



.

Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie





, 



, co zapisujemy:

lim

-,. -

/

,.

/

,  0,

wtedy i tylko wtedy, gdy:

1

!-

2

,.

2

%

34 lim

#,



#

, 

#





, 



5 6 7 lim

#,



#

, 

#

089.

Def. (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie)

Niech





, 







oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie





, 



.

Funkcja f ma granicę niewłaściwą

∞ w punkcie 



, 



, co zapisujemy:

lim

-,. -

/

,.

/

,  ∞,

wtedy i tylko wtedy, gdy:

1

!-

2

,.

2

%

34 lim

#,



#

, 

#





, 



5 6 7 lim

#,



#

, 

#

∞89.

Uwaga!!!
Nie ma odpowiednika reguły de L’Hospitala do obliczania granic wyrażeń nieoznaczonych funkcji
dwóch i trzech zmiennych.

3

Def.

Niech





, 







oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu





, 



.

Funkcja f jest ciągła w punkcie





, 



wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

-,. -

/

,.

/

,  



, 



Funkcja f jest ciągła w pewnym zbiorze A, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Mówimy wówczas , że funkcja f jest klasy C w zbiorze A.

POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Def. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu





, 



. Pochodną cząstkową

pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie





, 



określamy wzorem:

:;
:-





, 



lim

∆-

;-

/

=∆-,.

/

>;-

/

,.

/

∆-

.

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem y w punkcie





, 



określamy

wzorem:

:;
:.





, 



lim

∆.

;-

/

,.

/

=∆. >;-

/

,.

/

∆.

.

Oznaczenia:

:?

:.

,

:;
:.

, @

.

.

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych:

A

A 



, 



B0C,

A

A 



, 



B0D

Gdzie

C oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu

funkcji f płaszczyzną

 



w punkcie (





, 



, 



, 



, do płaszczyzny xOy, a D oznacza kąt

nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną

 



.

Def.

Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego
  



, to funkcje:

:;
:-

,  ,

:;
:.

,  , gdzie ,    nazywamy pochodnymi

cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze A.

4

Def.

Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe

:;
:-

,

:;
:.

przynajmniej na otoczeniu





, 



. Pochodne

cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie





, 



określamy wzorami:

A





A







, 



I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

A





AA 



, 



I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

A





AA 



, 



I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

A





A







, 



I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

Def.

Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego

  



, to funkcje

A





A



,  ,

A





AA ,  ,

A





AA ,  ,

A





A



, 

nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f na zbiorze A i oznaczamy
odpowiednio:

A





A



,

A





AA ,

A





AA ,

A





A



,

lub przez 

--

, 

-.

, 

.-

, 

..

Def.

Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu

' O 2 przynajmniej na otoczeniu 



, 



.

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie





, 



pochodnych cząstkowych rzędu n funkcji

f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n+1 funkcji f w punkcie





, 



.

Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu n w każdym punkcie zbioru otwartego, to mówimy,
ż

e na tym zbiorze określone są pochodne cząstkowe rzędu n funkcji f.

Pochodną cząstkową n-tego rzędu funkcji f w punkcie





, 



, powstałą w wyniku k-krotnego

różniczkowania względem zmiennej x i następnie l-krotnego różniczkowania względem zmiennej y,

gdzie k+l=n, oznaczamy:

:

2

;

:.

R

:-

S





, 



.

Tw.(Schwarza o pochodnych mieszanych)

Jeżeli pochodne cząstkowe

:

T

;

:-:.

,  ,

:

T

;

:.:-

,  są ciągłe w punkcie 



, 



, to są równe, tj.:

:

T

;

:-:.





, 



:

T

;

:.:-





, 



.

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe

:;
:-

,

:;
:.

w punkcie





, 



. Wówczas płaszczyzna

styczna do wyk teru funkcji f w punkcie

!



, 



, 



, 



% ma postać:

 U 



, 



A

A 



, 



 U 



V

A

A 



, 



 U 



5

Def. (różniczka funkcji)

Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie





, 



. Różniczką funkcji f

w punkcie





, 



nazywamy funkcję df



, 



zmiennych ∆, ∆ określoną wzorem:





, 



∆, ∆

A

A 



, 



∆ V

A

A 



, 



∆.

Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych:
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie





, 



. Wtedy:





V ∆, 



V ∆ W 



, 



V 



, 



∆, ∆

Def. (gradient funkcji)

Gradientem funkcji w punkcie





, 



nazywamy wektor określony wzorem:

XYZ[



, 



3

A

A 



, 



,

A

A 



, 



9

Analogicznie określa się gradient funkcji trzech zmiennych.
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Def. (minimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych)

Funkcja f ma w punkcie





, 



minimum lokalne (właściwe), jeżeli istnieje otoczenie

(sąsiedztwo) tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi
nierówność:

,  O 



, 



, \,  ] 



, 



^.

Def. (maksimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych)

Funkcja f ma w punkcie





, 



maksimum lokalne (właściwe), jeżeli istnieje otoczenie

(sąsiedztwo) tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi
nierówność:

,  _ 



, 



, \,   



, 



^.

Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1.

Ma ekstremum lokalne w punkcie





, 



,

2.

Istnieją pochodne cząstkowe

:;
:-





, 



,

:;
:.





, 



,

to

:;
:-





, 



0,

:;
:.





, 



0

Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji trzech zmiennych.
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

!!!

Funkcja może mieć ekstrema w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których choć jedna z tych pochodnych
cząstkowych nie istnieje.

6

Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu





, 



oraz

niech :

1.

:;
:-





, 



0,

:;
:.





, 



0,

2.

aB b

:

T

;

:-

T





, 



:

T

;

:-:.





, 



:

T

;

:.:-





, 



:

T

;

:.

T





, 



c ] 0.

Wtedy funkcja f ma w punkcie





, 



ekstremum lokalne właściwe i jest to :

minimum, gdy

:

T

;

:-

T





, 



] 0 albo maksimum, gdy

:

T

;

:-

T





, 



 0.

Uwaga.
Gdy wyznacznik w założeniu 2. Jest ujemny, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego. W
przypadku, gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie, czy funkcja f ma ekstremum lokalne w
punkcie





, 



przeprowadzamy innymi metodami (np. korzystając z definicji).

Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu





, 



, 



oraz

niech :

1.

:;
:-





, 



, 



0,

:;
:.





, 



, 



0,

:;
:?





, 



, 



0

2.



:

T

;

:-

T





, 



, 



] 0

d aB

e

f

f

f

g A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





A







, 



, 



hi

i

i

j

] 0,

k aB

e

f

f

f

f

f

g A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





A







, 



, 



h

i

i

i

i

i

j

] 0.

Wtedy funkcja f ma w punkcie





, 



, 



minimum lokalne właściwe.

Uwaga.
Gdy założenie 2. ma postać

  0, d ] 0, k  0, to funkcja f ma w punkcie 



, 



, 



maksimum lokalne właściwe.
Dla pozostałych wartości A,B,C, o ile

dk l 0 , funkcja nie ma ekstremum lokalnego w

punkcie





, 



, 



.