Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Ekstrema funkcji wielu

zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Niech

 

będzie funkcją określoną na zbiorze



, o wartościach w R. Niech







Mówimy, że funkcja

 

ma w punkcie







maksimum (minimum) lokalne,

gdy istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla każdego punktu

 

należącego do tego

otoczenia zachodzi nierówność:

 







 











Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Jeżeli funkcja

 

ma w punkcie







ekstremum, a obie pochodne cząstkowe

pierwszego rzędu w tym punkcie i jego otoczeniu istnieją, to pochodne te są w tym punkcie
równe zeru:













Warunek dostateczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Załóżmy, że funkcja dwóch zmiennych

 

ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu

w otoczeniu punktu







Niech wyróżnik funkcji

 

ma postać

 

   





to znaczy

 



Załóżmy, że w punkcie







spełniony jest warunek konieczny istnienia

ekstremum funkcji, tzn.















Jeżeli











, to funkcja

 

ma w punkcie





, y

minimum.



Jeżeli













, to funkcja

 

ma w punkcie





, y

maksimum.



Jeżeli







, to funkcja

 

nie ma w punkcie





, y

ekstremum.



Jeżeli







, to funkcja

 

może mieć lub nie mieć ekstremum w punkcie





, y

Przykład

Zbadać ekstremum funkcji

 





