4.5. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Definicja
Otoczeniem punktu P
0
(x
0
, y
0
) na płaszczyźnie (oznaczenie ot.(P
0
, r) ) nazywamy wnętrze
koła o promieniu r i środku w P
0
, czyli: ot.(P
0
, r) = {(x, y)
∈
R
2
: (x - x
0
)
2
+ (y - y
0
)
2
< r
2
}.
Definicje
Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w D
f
oraz, Ŝe pewne otoczenie punktu P
0
jest zawarte w
D
f
, czyli istnieje taki promień r, Ŝe ot.(P
0
, r)
⊂
⊂
⊂
⊂
D
f
.
a) Punkt P
0
(x
0
, y
0
) nazywamy punktem minimum lokalnego (miejscem minimum lub
krótko punktem minimum) funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, Ŝe dla
kaŜdego punktu P z tego otoczenia zachodzi f(P
0
)
≤
f(P), czyli f(x
0
, y
0
)
≤
f(x, y) dla
dowolnych x, y z tego otoczenia.
b) Punkt P
0
(x
0
, y
0
) nazywamy punktem maksimum lokalnego (miejscem maksimum)
funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, Ŝe dla kaŜdego punktu P z tego otoczenia
zachodzi f(P)
≤
f(P
0
), czyli f(x, y)
≤
f(x
0
, y
0
) dla dowolnych x, y z tego otoczenia (zob.
rysunek).
Uwaga
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej nie naleŜy mylić minimum lokalnego z
wartością najmniejszą, a takŜe maksimum lokalnego z wartością największą funkcji w D
f
.
Twierdzenie
Funkcja f róŜniczkowalna w obszarze D moŜe mieć ekstremum lokalne tylko w takim punkcie
P(x, y) tego obszaru, w którym równocześnie
'
x
f
(x, y) = 0 i
'
y
f
(x, y) = 0.
Algorytm
Funkcje, które wykorzystujemy w praktyce, określone jednym wzorem są ciągłe i mają
(co najmniej) pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Wyznaczanie miejsca i wartości
ekstremum lokalnego (minimum lub maksimum) takich funkcji umoŜliwia algorytm:
1. Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w obszarze D
f
.
2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
'
x
f
,
'
y
f
funkcji f.
3. Rozwiązujemy układ równań:
'
x
f
(x, y) =0 i
'
y
f
(x, y) = 0.
a) Jeśli układ jest sprzeczny, to funkcja f nie posiada ekstremów.
b) Gdy układ ma rozwiązania (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), …, (x
n
, y
n
), to oznacza, Ŝe Ŝaden
punkt poza nimi nie moŜe być miejscem ekstremum lokalnego, inaczej kaŜdy z
tych punktów moŜe być, ale nie musi być miejscem ekstremum lokalnego funkcji f.
4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego
'
2
x
f
,
'
xy
f
,
'
yx
f
,
'
2
y
f
funkcji f.
5. Tworzymy wyznacznik W(x, y) =
'
'
'
'
2
2
y
yx
xy
x
f
f
f
f
.
6. Obliczamy wartość wyznacznika W dla kaŜdego punktu:
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), …, (x
n
, y
n
), czyli W(x
1
, y
1
), W(x
2
, y
2
), …, W(x
n
, y
n
).
7. Rozstrzygamy o istnieniu ekstremum lokalnego w kaŜdym z punktów:
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), …, (x
n
, y
n
).
a) jeŜeli W(x, y) > 0 i
'
2
x
f
(x, y) < 0, to (x, y) jest miejscem maksimum lokalnego,
b) jeŜeli W(x, y) > 0 i
'
2
x
f
(x, y) > 0, to (x, y) jest miejscem minimum lokalnego,
c) jeŜeli W(x, y) < 0, to (x, y) nie jest miejscem ekstremum lokalnego,
d) jeŜeli W(x, y) = 0, to do rozstrzygnięcie czy (x, y) jest (nie jest) miejscem
ekstremum lokalnego naleŜy wykorzystać inną teorię.
8. Obliczamy wartość f(x, y) funkcji f w kaŜdym punkcie ekstremum lokalnego.
Przykład
Wyznacz największą wartość iloczynu xyz trzech liczb dodatnich, których suma
x + y+ z = 12.
Rozwiązanie
Przyjmijmy, Ŝe f(x, y) = xyz , gdzie x + y+ z = 12.
Definiujemy funkcję f wzorem f(x, y) = xy(12 – x – y) określoną dla x > 0 i y > 0, przy
czym ma być 12 – x – y > 0 .
Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji f
(miejsc tych ekstremów oraz ich wartości).
Postępujemy zgodnie z opisanym algorytmem:
2. Wyznaczamy pochodne
'
x
f
,
'
y
f
funkcji f.
Mamy
'
x
f
(x, y) = y(12 – 2x – y)
'
y
f
(x, y) = x(12 – x – 2y).
3. Rozwiązujemy układ równań:
y(12 – 2x – y) = 0 i x(12 – x – 2y) = 0.
Otrzymujemy rozwiązania: (0,0) (12, 0), (0,12), (4, 4).
Punkty (0, 0) (12, 0), (0,12) nie naleŜą do dziedziny funkcji f. Jedynym punktem,
w którym funkcja f moŜe mieć ekstremum jest P(4, 4).
4, 5, 6. Wyznaczamy wartość wyznacznika W(x, y) =
'
'
'
'
2
2
y
yx
xy
x
f
f
f
f
w punkcie (4, 4).
Mamy: W(4, 4) =
8
4
4
8
−
−
−
−
= 48.
7. Skoro
'
2
x
f
(4, 4 ) = -8 < 0 oraz W(4, 4) > 0, więc w punkcie P(4, 4) funkcja f ma
maksimum lokalne.
8. Wartość maksimum lokalnego wynosi f(4, 4) = 16(12 – 4 – 4) = 64.
Odpowiedź
Ostatecznie iloczyn liczb xyz jest największy i równy 64, gdy x = y = z = 4.
Zadania
1.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
a) z = x
2
– xy + y
2
– 2x + y ; b) z = x
3
+ y
2
– 6xy – 48x.
2.
Wyznacz wymiary otwartego pudełka prostopadłościennego o pojemności 64 cm
3
.
Uzupełnij rozumowanie:
Przyjmujemy, Ŝe wymiary pudełka wynoszą x, y, z.
Objętość V prostopadłościanu wynosi V = …..
Pole S powierzchni otwartego pudełka jest równe S = 2yz + ……
Definiujemy funkcję S = f(x,y) =
x
128
+ …….
Obliczamy pochodne:
'
x
S
= ……………….
'
y
S
= …………..
"
xx
S
= ……………
"
xy
S
= ……….
"
yy
S
= ……
Rozwiązujemy układ równań: ……………..
Wartości drugich pochodnych w punkcie ……….. wynoszą ……….
Obliczamy wartość wyznacznika: ………………
Interpretujemy otrzymane liczby: ……………
Odpowiedź: