FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

POCHODNE CZĄSTKOWE

Niech

,

, gdzie

, będzie funkcją dwóch zmiennych (x,y).

( )

z

y

x

f

=

,

R

A

f

→

:

2

R

A

⊂

( )

x

f

y

x

f

x

∂

∂

=

,

'

pochodne cząstkowe rzędu 1-go

( )

y

f

y

x

f

y

∂

∂

=

,

'

( )













∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

x

f

x

x

f

y

x

f

xx

2

2

''

,

czyste pochodne cząstkowe rzędu 2-go

( )













∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

y

f

y

y

f

y

x

f

yy

2

2

''

,

( )













∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

=

y

f

x

y

x

f

y

x

f

xy

2

''

,

mieszane pochodne cząstkowe rzędu 2-go

( )













∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

=

x

f

y

x

y

f

y

x

f

yx

2

''

,

Twierdzenie Schwarza: Jeżeli pochodne mieszane funkcji f w punkcie (x

0

,y

0

) są ciągłe

i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, to pochodne te w punkcie (x

0

,y

0

) są sobie

równe

x

y

f

y

x

f

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

2

2

.

Przykład:

y

x

xy

x

y

x

f

12

15

3

)

,

(

2

3

−

−

+

=

( )

15

3

3

,

2

2

'

−

+

=

y

x

y

x

f

x

,

( )

12

6

,

'

−

= xy

y

x

f

y

( )

x

y

x

f

xx

6

,

''

=

,

,

,

( )

x

y

x

f

yy

6

,

''

=

( )

y

y

x

f

xy

6

,

''

=

( )

y

y

x

f

yx

6

,

''

=

Arkadiusz Lisak

1

EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Niech funkcja f(x,y) będzie określona w pewnym obszarze D

⊂R

2

. Mówimy,

że funkcja f(x,y) ma w punkcie (x

0

,y

0

)

∈D maksimum lokalne (minimum lokalne),

jeżeli istnieje takie otoczenie S punktu (x

0

,y

0

), że dla każdego punktu (x,y) należącego

do otoczenia S spełniona jest nierówność

( )

(

0

0

,

,

y

x

f

y

x

f

≤

) ( )

(

0

0

,

,

y

x

f

y

x

f

≥

(

)

)

WARUNEK KONIECZNY

: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f(x,y) ma w punkcie

(x

0

,y

0

) ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rządu, to

(

)

0

,

0

0

'

=

y

x

f

x

i

(

)

0

,

0

0

'

=

y

x

f

y

Punkty (x

0

,y

0

), które spełniają powyższe warunki nazywamy punktami

stacjonarnymi.

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY

: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f(x,y) ma

w pewnym otoczeniu punktu (x

0

,y

0

) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu,

i

((x

(

)

0

,

0

0

'

=

y

x

f

x

(

)

0

,

0

0

'

=

y

x

f

y

0

,y

0

) jest punktem stacjonarnym) oraz

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

,

,

,

,

,

0

0

''

0

0

''

0

0

''

0

0

''

,

''

''

''

''

0

0

0

0

>

⋅

−

⋅

=

=

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

f

f

f

f

f

y

x

W

yx

xy

yy

xx

y

x

yy

yx

xy

xx

to f ma w punkcie (x

0

,y

0

) ekstremum lokalne.

Jeśli

W

, to powyższe kryterium nie rozstrzyga, czy funkcja f ma w punkcie

(x

(

)

0

,

0

0

=

y

x

0

,y

0

) ekstremum lokalne. Jeśli

, to funkcja f nie ma w punkcie (x

(

)

0

,

0

0

<

y

x

W

0

,y

0

)

ekstremum lokalnego.

Jeśli

>0, to f ma minimum lokalne, a jeśli

<0, to f ma maksimum

lokalne w punkcie (x

(

0

0

''

, y

x

f

xx

)

)

(

0

0

''

, y

x

f

xx

0

,y

0

).

Arkadiusz Lisak

2

Przykład: Dla funkcji

z wcześniejszego przykładu:

y

x

xy

x

y

x

f

12

15

3

)

,

(

2

3

−

−

+

=









=

=

0

0

'

'

y

x

f

f

⇔







=

−

=

−

+

0

12

6

0

15

3

3

2

2

xy

y

x

Rozwiązując ten układ otrzymamy cztery punkty stacjonarne: (1,2), (2,1), (-1,-2),

(-2,-1).

( )

( )

2

2

,

''

''

''

''

36

36

6

6

6

6

,

y

x

x

y

y

x

f

f

f

f

y

x

W

y

x

yy

yx

xy

xx

−

=

=

=

,

więc

( )

108

4

36

36

2

,

1

−

=

⋅

−

=

W

,

W

,

( )

108

36

4

36

1

,

2

=

−

⋅

=

(

)

108

4

36

36

2

,

1

−

=

⋅

−

=

−

−

W

,

W

.

(

)

108

36

4

36

1

,

2

=

−

⋅

=

−

−

Ponadto

0

12

)

1

,

2

(

''

>

=

xx

f

,

.

0

12

)

1

,

2

(

''

<

−

=

−

−

xx

f

Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie (2,1) (

), zaś

w

punkcie (-2,-1) ma maksimum lokalne (

).

W punktach (1,2) i (-1,-2) funkcja nie ma ekstremów lokalnych.

( )

28

12

30

6

8

1

,

2

min

−

=

−

−

+

=

f

(

)

12

30

6

8

1

,

2

max

=

+

+

−

−

=

−

−

f

28

Arkadiusz Lisak

3