4.6. Różniczki funkcji dwóch zmiennych

Niech z = f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych określoną w obszarze D, mającą

pochodne cząstkowe w tym obszarze.

Różniczki cząstkowe

Niech P = (x, y

0

) będzie punktem obszaru D, gdzie y

0

jest daną konkretnie liczbą.

Wtedy funkcja z = f(x, y) jest funkcją tylko jednej zmiennej x. Jest to funkcja z

x

= f(x, y

0

).

Dla tej funkcji możemy utworzyć różniczkę dz

x

=

x

z

∂

∂

dx

Podobnie rozważając punkt (x

0

, y) obszaru D, czyli ustalając wartość zmiennej x

otrzymamy funkcję zmiennej y równą z

y

= f(x

0

, y).

Tworzymy dla niej różniczkę dz

y

=

y

z

∂

∂

dy.

Definicja

Wyrażenia dz

x

=

x

z

∂

∂

dx i dz

y

=

y

z

∂

∂

dy nazywamy odpowiednio różniczką cząstkową

funkcji z = f{x, y) względem x oraz różniczką cząstkową tej funkcji względem y.

Jeżeli zmienna x otrzyma przyrost

∆

x = dx, a więc punkt (x + dx, y

0

) jest również

punktem obszaru D,

to wartość funkcji z

x

= f(x, y

0

) zwiększy się o wielkość

∆

z

x

= f(x + dx, y

0

) - f (x , y

0

).

Dla małych wartości

∆

x = dx przyrost wartości funkcji równy

∆

z

x

= f(x + dx, y

0

) - f (x , y

0

) jest w przybliżeniu równy różniczce dz

x

=

x

z

∂

∂

dx.

Inaczej wielkość

∆

z

x

można dość dokładnie ocenić różniczką cząstkową dz

x

.

Czyli

∆

z

x

≈

dz

x

.

Analogicznie przyrost wartości funkcji

∆

z

y

= f(x

0

, y + dy) - f (x

0

, y) spowodowany

zwiększeniem argumentu y o wielkość

∆

y = dy, można dla małych wartości dy zastąpić

różniczką dz

y

. Czyli

∆

z

y

≈

dz

y

.

Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych

Definicja

Wyrażenie dz =

x

z

∂

∂

dx +

y

z

∂

∂

dy nazywamy różniczką zupełną funkcji z = f(x, y). Czyli

różniczka zupełna jest sumą różniczek cząstkowych.

Różniczkę zupełną wykorzystuje się jako przybliżenie dla przyrostu wartości funkcji

∆

z = f(x

0

+ dx, y

0

+ dy) - f (x

0

, y

0

)

wywołanego przyrostami argumentów

∆

x = dx i

∆

y = dy.

Zwykle łatwiej jest policzyć wartość różniczki zupełnej niż przyrostu

∆

z.

Różniczka zupełna ma zastosowanie do oszacowania błędu, jaki popełniamy obliczając

wartość f(x, y), gdy przy wyznaczaniu x i y popełniliśmy błędy dx i dy. Wtedy dla małych dx

i dy błąd można uważać za równy w przybliżeniu dz.

Błędy dx i dy mogą być zarówno ujemne jak i dodatnie (w praktyce najczęściej nie

znamy znaku dx i dy).

W praktyce, wielkość

δ

z = |

x

z

∂

∂

dx | + |

y

z

∂

∂

dy | nazywa się błędem maksymalnym.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Boki prostokątnego placu mają wymiary 80 m i 60 m.

a) Oblicz długość ścieżki wyznaczonej wzdłuż przekątnej tego placu.

b) Oblicz długość ścieżki wyznaczonej wzdłuż przekątnej placu, pod warunkiem, że

dłuższy jego bok zwiększymy o 0,2 m, a krótszy o 0,3m.

Zadanie 2.

O ile zwiększy się objętość stożka o średnicy s = 60 i wysokości h = 30, gdy średnica

wzrośnie o 0,5 a wysokość o 0,2? Oblicz błędy maksymalny i względny.

Odpowiedź

Zad. 1. a) 100 m, b) obliczenie bezpośrednie daje 100,34007; różniczka jest równa 0,34.

Zad. 2. Błąd maksymalny 660, błąd względny 2,3%.