RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Funkcją n zmiennych o wartościach rzeczywistych nazywamy odwzorowanie przyporządkowujące każdemu punktowi
zbioru X dokładnie jedną liczbę rzeczywistą
.

Otoczeniem punktu
o promieniu r nazywamy zbiór

Sąsiedztwem punktu
o promieniu r nazywamy zbiór

- ciąg punktów przestrzeni

- punkt tej przestrzeni

Ciąg (
nazywamy zbieżnym do punktu
(
), wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego i=1,2,...,n

f - określona na pewnym sąsiedztwie

g - pewna liczba rzeczywista

Liczba g jest granicą funkcji wielu zmiennych wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
o wyrazach
(k=1,2,...,n) (f określone w S) i takiego, że
odpowiedni ciąg
wartości funkcji
jest zbieżny do g, tzn
. Fakt, że liczba g jest granicą funkcji
w punkcie
zapisujemy:

lub

Funkcja
ma w punkcie
granice niewłaściwą
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
punktów takich, że
(k=1,2,...) i
jest
(
).

Funkcję
określoną na pewnym otoczeniu
nazywamy ciągłą w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy
.

Funkcję będzie my nazywać ciągła wtedy i tylko wtedy gdy posiada w tym punkcie granicę, wartość i granica=wartości.

Uwagi:

• ciągłość funkcji pociąga za sobą ciągłość względem każdej zmiennej z osobna

• z ciągłości funkcji względem każdej zmiennej z osobna nie wynika ciągłość funkcji n zmiennych

POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

- określona w pewnym otoczeniu
i

Niech

- przyrost i-tego argumentu taki, że

- pewien przyrost cząstkowy wartości funkcji f, który odpowiada przyrostowi i-tego argumentu o

- jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to jest nazywana pochodną cząstkową funkcji f względem i-tego argumentu w punkcie

Uwagi:

• obliczając pochodną cząstkową względem i-tego argumentu stosujemy reguły i wzory dla jednej zmiennej, bo tylko i-ty argument będziemy traktować jako zmienną, a resztę jako stałe.

• Jeżeli funkcja ma pochodną cząstkową
  w każdym punkcie pewnego zbioru X, to ta pochodna cząstkowa jest nową funkcją n zmiennych określona na tym zbiorze

Załóżmy że funkcja f ma w każdym punkcie zbioru
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem każdej zmiennej. Każda z tych pochodnych cząstkowych jest nowa funkcją n zmiennych określoną na zbiorze X. Zatem każda z tych funkcji (jest ich n) może mieć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem poszczególnych zmiennych. Te pochodne nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f.

Funkcja f dwóch zmiennych x oraz y może mieć następujące pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

Pochodne 2 i 3 nazywamy mieszanymi.

Twierdzenie Schwarza

Jeżeli funkcja wielu zmiennych posiada w otoczeniu punktu

wszystkie pochodne cząstkowe do rzędu n-1 włącznie i pochodne cząstkowe rzędu n-tego mieszane różniące się tylko kolejnością obliczania pochodnych są funkcjami ciągłymi w punkcie
to są równe.

Różniczka zupełna

Jeżeli funkcja posiada skończone pochodne cząstkowe rzędu 1 to różniczka zupełna funkcji f w punkcie
definiowana jest:

jeżeli funkcja f posiada w punkcie
ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu m-tego to różniczka zupełna rzędu m funkcji f w punkcie
definiowana jest jako

Różniczka zupełna rzędu 2 jest formą kwadratową ze względu na przyrosty
. Macierzą tej formy kwadratowej jest macierz:

, którą nazywamy hesjan.

Ponieważ spełnione są założenia twierdzenia Schwarza, więc powyższa macierz (hesjan) jest macierzą symetryczną. ( będziemy wykorzystywać do badania określoności).

EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Funkcja f posiada w punkcie
maksimum lokalne (minimum lokalne) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje takie sąsiedztwo punktu
, że dla każdego punktu P z tego sąsiedztwa
(
) [dla nierówności ostrych lokalne właściwe].

Twierdzenie o warunkach koniecznych istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych

Jeżeli funkcja f posiada w punkcie
ekstremum i posiada w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu 1 to przyjmują one w tym punkcie wartości równe 0.

Postępowanie:

1. 
   

2. dziedzina funkcji

3. wyliczyć pochodne cząstkowe
   

4. przyrównujemy te pochodne do 0

5. mamy układ równań

6. wyliczyć układ

7. otrzymujemy punkt lub punkty stacjonarne, w których funkcja może mieć max/min

8. Sprawdzamy czy faktycznie

Twierdzenie o warunkach wystarczających istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu stacjonarnego
ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu 2 to:

• funkcja posiada w punkcie
  maksimum lokalne, gdy
  jest ujemnie określone, a minimum lokalne gdy druga różniczka jest dodatnio określona

• funkcja f nie posiada w punkcie
  ekstremum, gdy
  jest nieokreślona

• przypadek gdy
  jest półokreślona nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum

9. stworzyć hesjan

10. posługując się twierdzeniem Sylvestra badamy określoność

EKSTREMUM WARUNKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Poprzednie ekstremum funkcji nazywane jest ekstremum bezwarunkowym, ponieważ od punktu stacjonarnego wymaga się tylko, aby funkcja była w nim określona.

Ekstremum warunkowe funkcji to takie, w którym od punktów (argumentów) wymaga się spełnienia dodatkowych warunków.

Przypuśćmy, że istnieje m (m<n) warunków postaci:

(*)

..............................

Załóżmy, ze funkcja n zmiennych f określona w zbiorze X, że powyższe warunki spełnione są przez wszystkie punkty należące do zbioru X' oraz, że
. Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie
ekstremum warunkowe przy warunkach (*), jeżeli funkcja ta rozpatrywana w zbiorze
ma w punkcie
tego zbioru ekstremum bezwarunkowe.

Twierdzenie o warunku koniecznym istnienia ekstremum warunkowego funkcji

Warunkiem koniecznym, aby w punkcie
istniało ekstremum warunkowe funkcji f przy warunkach (*) jest to, żeby współrzędne punktu
spełniały układ równań:

..........

..............................

gdzie

jest funkcją Lagrange'a, a
są stałymi zwanymi mnożnikami Lagrange'a

Postępujemy więc analogicznie jak w przypadku ekstremum bezwarunkowego, z tym że rolę funkcji, której ekstremum bezwarunkowe szukamy, jest funkcja Lagrange'a. W celu zbadania warunku dostatecznego należy zbadać określoność różniczki zupełnej rzędu drugiego funkcji Lagrange'a.

Szczególnym przypadkiem ekstremum warunkowego jest szukanie ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych x oraz y, gdyż mamy tylko jeden warunek (jako że m<n)
. Dla tego szczególnego przypadku możemy inaczej sformułować twierdzenie o warunku dostatecznym istnienia ekstremum warunkowego.

Twierdzenie o warunku dostatecznym istnienia ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych.

Jeżeli w punkcie
dla
spełnione są warunki konieczne oraz funkcja f ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego, a funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to w punkcie
funkcja f ma minimum warunkowe, gdy wyznacznik poniższej macierzy jest ujemny oraz maksimum, gdy wyznacznik jest dodatni.

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH W EKONOMII

1. Wielkość wytworzonego dochodu narodowego D zależna jest od wielkości produkcji majątku trwałego K i od wielkości zatrudnienia L. Funkcję
   nazywamy funkcją produkcji.

Pochodna cząstkowa
określa tzw. Krańcową wydajność produkcyjnego majątku trwałego. Jest ona w przybliżeniu równa przyrostowi dochodu narodowego, gdy nakłady produkcyjnego majątku trwałego wzrastają o jednostkę, przy czym wielkość zatrudnienia nie ulegnie zmianie

Pochodna cząstkowa
określa tzw. Krańcowa wydajność zatrudnienia, która w przybliżeniu jest równa przyrostowi dochodu narodowego spowodowanego przyrostem zatrudnienia o jednostkę, przy niezmienionych nakładach produkcyjnego majątku trwałego.

2. Podobnie jak elastyczność jednej zmiennej określa się elastyczności cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Jeżeli istnieje pochodna cząstkowa
   to elastycznością cząstkową funkcji f n zmiennych względem
   nazywamy wyrażenie:

Określa ona w przybliżeniu procentową zmianę wartości funkcji, gdy zmienna
wzrasta o 1% przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych

3. Gdy przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby, jego funkcja przychodu jest zależna od wielkości produkcji obu wyrobów. Znając
   można wyznaczyć takie wielkości produkcji, aby osiągnięty przychód był maksymalny - obliczamy ekstremum funkcji

4. Producent ma zrealizować zamówienie klienta na towar w ilości
   . Do produkcji używane dwa surowce
   i
   ; Q - funkcja produkcji; C - koszt produkcji, zależy tylko od wielkości
   zużycia surowców:

Producent musi rozwiązać problem: znaleźć takie
aby zminimalizować
przy warunkach
- szukanie ekstremum warunkowego funkcji

Wychodzi:
lub inaczej
Oznacza to, że kombinacja nakładów surowców jest optymalna, gdy iloraz ceny surowca i krańcowego produktu jest taki sam dla każdego nakładu.

5. Konieczność wyznaczenia wzoru określającego w przybliżeniu zależność pomiędzy obiema wielkościami (popyt a cena, dochód narodowy a inwestycje). Dysponując odpowiednimi danymi statystycznymi jesteśmy w stanie wyznaczyć wzór, opisujący te zależności. Pozwala nam na to tzw. metoda najmniejszych kwadratów

X,Y - dwie wielkości ekonomiczne

- wartości odpowiednio zmiennej X i Y

Metoda najmniejszych kwadratów polega na wyznaczeniu parametrów funkcji f argumentu x takich, aby wielkość

przyjmowała wartość najmniejszą

• najpierw obserwujemy tendencję „układania się” punktów wzdłuż jakiejś krzywej, aby określić typ funkcji, której parametry chcemy wyznaczyć

• wyznaczamy parametry minimalizując S(a,b)

6

---