Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Zad. 1 Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji:
a)
, =
∙
, d)
, =
+
− 4 9 −
−
,
b)
, = √1 −
−
− 1, e)
, , = 4 −
− ,
c)
, =
, f)
, , = arcsin
+
+ − 2 .
Zad. 2 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego danych funkcji:
a)
, =
%
&
'(
, d)
, = )
*+,
,
b)
, =arcsin , e)
, , =
-
+
+
.
,
c)
, =
+
√
, f)
, , =
3x + 2z
23
.
Zad. 3 Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe:
a)
, =
,
4
5
6
4 4
7
, d)
, = 8
+
+ 4 ,
4
7
9
4 4
,
b)
, , =
7 5
:
,
4
5
6
4 4 4:
, e)
, = 2 + ,
4
7
6
4 4
,
c)
, , = )
:
,
4
;
6
4 4
7
4:
7
, f)
ℎ , =
=,
,
4
7
>
4
7
.
Zad. 4 Obliczyć gradient i pochodną kierunkową podanych funkcji we wskazanych punktach
i kierunkach:
a)
, =
+ , ?
@
= −3,4 , AB = C
D
D.
,
E
D.
F ,
b)
, , =
:G
:
, ?
@
= 1,0, −3 , AB = C−
I
J
,
.
J
, −
J
F.
Zad. 5 Obliczyć dywergencję i rotację wektora
B = 3 + KB+ 2 − LB + 3 − 4 MNB.
Zad. 6 Obliczyć laplasjan funkcji
, , =
D
7
7
:
7
.
Zad. 7 Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia liczbowego:
a)
1,02
.
∙ 0,997 , c)
E,D
7
∙ ,P
7
D
,P
7
,
b)
3,02 + 4,02
5
, d)
@,PQ
R,SR
D,@D
7,SR
.
Zad. 8 Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu podanej funkcji we
wskazanym punkcie:
a)
, = , ?
@
= 2, 4, 16 ,
b)
, =
UVW*+,
UVWWX*
, ?
@
= C−
D
,
√.
, −1F.
Zad. 9 Wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji:
a)
, =
+
+
− 2 − , d)
, = )
G
x + y ,
b)
, = 3
−
.
−
Z
, e)
, = − +
- ,
c)
, =
.
− − , f)
, =
+
+
+
U
5
+
U
5
,
> 0, > 0.