Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Zad. 1 Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji:

a)

, =

∙

, d)

, =

+

− 4 9 −

−

,

b)

, = √1 −

−

− 1, e)

, , = 4 −

− ,

c)

, =

, f)

, , = arcsin

+

+ − 2 .

Zad. 2 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego danych funkcji:

a)

, =

%

&

'(

, d)

, = )

*+,

,

b)

, =arcsin , e)

, , =

-

+

+

.

,

c)

, =

+

√

, f)

, , =

3x + 2z

23

.

Zad. 3 Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe:

a)

, =

,

4

5

6

4 4

7

, d)

, = 8

+

+ 4 ,

4

7

9

4 4

,

b)

, , =

7 5

:

,

4

5

6

4 4 4:

, e)

, = 2 + ,

4

7

6

4 4

,

c)

, , = )

:

,

4

;

6

4 4

7

4:

7

, f)

ℎ , =

=,

,

4

7

>

4

7

.

Zad. 4 Obliczyć gradient i pochodną kierunkową podanych funkcji we wskazanych punktach
i kierunkach:

a)

, =

+ , ?

@

= −3,4 , AB = C

D
D.

,

E

D.

F ,

b)

, , =

:G
:

, ?

@

= 1,0, −3 , AB = C−

I
J

,

.
J

, −

J

F.

Zad. 5 Obliczyć dywergencję i rotację wektora

B = 3 + KB+ 2 − LB + 3 − 4 MNB.

Zad. 6 Obliczyć laplasjan funkcji

, , =

D

7

7

:

7

.

Zad. 7 Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia liczbowego:

a)

1,02

.

∙ 0,997 , c)

E,D

7

∙ ,P

7

D

,P

7

,

b)

3,02 + 4,02

5

, d)

@,PQ

R,SR

D,@D

7,SR

.

Zad. 8 Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu podanej funkcji we
wskazanym punkcie:
a)

, = , ?

@

= 2, 4, 16 ,

b)

, =

UVW*+,

UVWWX*

, ?

@

= C−

D

,

√.

, −1F.

Zad. 9 Wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji:
a)

, =

+

+

− 2 − , d)

, = )

G

x + y ,

b)

, = 3

−

.

−

Z

, e)

, = − +

- ,

c)

, =

.

− − , f)

, =

+

+

+

U

5

+

U

5

,

> 0, > 0.