5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz różnicowy, pochodna funkcji w
punkcie, interpretacja geometryczna pochodnej, własności pochodnej, twierdzenie Lagrange’a,
pochodne wyższych rzędów, reguła de L’Hospitala.
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
)
(
)
(
x
f
c
x
f
c
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
f
x
g
f
Wzór funkcji
Pochodna
funkcji
Uwagi
dla
dla
Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodne funkcji:
a)
b)
Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, oblicz pochodną funkcji f w punkcie
, gdy:
c)
d)
e)
f)
Zadanie 2. Oblicz pochodne funkcji korzystając z wzorów.
a)
x
x
x
f
sin
)
(
2
b)
4
3
8
5
2
)
(
x
x
x
x
f
c)
3
2
2
)
(
x
x
x
x
f
d)
9
3
2
3
2
1
)
(
x
x
x
x
f
e)
1
5
3
)
(
3
5
x
x
x
f
f)
4
2
3
)
(
x
x
x
x
x
f
g)
x
x
x
f
cos
)
(
h)
x
x
x
f
sin
)
(
2
i)
4
2
3
)
(
x
x
x
x
x
f
j)
2
3
1
)
(
x
x
x
f
k)
2
sin
)
(
2
x
x
x
x
f
l)
7
5
3
)
(
x
x
x
f
m)
2
3
)
(
2
x
x
x
f
n)
x
x
f
2
sin
)
(
o)
2
sin
)
(
x
x
f
p)
1
2
5
3
sin
)
(
3
4
x
x
x
x
f
q)
2
3
sin
)
(
x
x
x
f
Twierdzenie de L’Hospitala
. Jeżeli funkcje
oraz
są określone w otoczeniu punktu
i
albo
i
oraz istnieje
granica ilorazu pochodnych
(właściwa lub niewłaściwa) to istnieje także granica
oraz
.
Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic, gdy x dąży do
.
Zadanie 5. Oblicz granice:
a)
b)
c)
d)
Twierdzenie Lagrange’a
Jeżeli funkcja
jest ciągła w przedziale i istnieje
dla ,
to istnieje punkt
taki, że
Wartość
interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości w przedziale
Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a)
1
5
3
)
(
3
5
x
x
x
f
b)
Pochodne wyższych rzędów
Zadanie 4. Znaleźć pochodne drugiego, trzeciego i czwartego rzędu dla funkcji:
a)
x
x
x
f
sin
)
(
2
b)
2
3
1
)
(
x
x
x
f
c)
7
5
3
)
(
x
x
x
f