RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

 

 

1. 1)      Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu argumentu
   nazywamy iloraz

 

2. 2)      Przyrost wartości funkcji w punkcie
   odpowiadający przyrostowi argumentu o
   

3. 3)      Pochodną funkcji f w punkcie
   nazywamy granicę (jeśli istnieje i jest właściwa) ilorazu różnicowego gdy przyrost
   dąży do zera. Pochodną oznaczamy symbolem
   

Jeżeli powyższa granica nie istnieje, to funkcja nie ma pochodnej w punkcie
. O funkcji, która ma tą pochodną mówimy, że jest różniczkowalna

 

4. 4)      Jeżeli w definicji pochodnej granicę zastąpimy granicami jednostronnymi to otrzymamy definicję tzw. Pochodnych jednostronnych.

 

5. 5)      Pochodna funkcji w punkcie
   istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tym punkcie pochodna lewostronna i pochodna prawostronna i są one sobie równe

 

 

6. 6)      Tam gdzie na wykresie jest ostrze, tam nie ma pochodnej! Tam gdzie nie ma pochodnej, tam na wykresie ostrze!!!!

 

7. 7)      Jeżeli funkcja ma w punkcie pochodną to jest w tym punkcie ciągła (odwrotna implikacja nieprawdziwa!)

 

8. 8)      Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy posiada granicę w tym punkcie, wartość w tym punkcie i granica jest równa wartości ( wykres nie może mieć dziur)

 

9. 9)      TW : Funkcja może mieć w danym punkcie co najwyżej jedną pochodną

 

10. 10)   TW: Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie
    to również następujące pochodne są różniczkowalne i wynoszą:

 

(f+g)'(
)=f'(
)+g'(
)

(f-g)'(
)=f'(
)-g'(
)

(f*g)'(
)=f(
)g'(
)+f'(
)g(
)

, g(
)

 

11. 11)   TW : Jeżeli funkcja f ma pochodną
    i istnieje funkcja odwrotna
    do funkcji f, to istnieje pochodna funkcji
    w punkcie
    , przy czym zachodzi wzór :

 

 

12. 12)   TW: Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie
    , a funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
    , to funkcja
    jest różniczkowalna w punkcie
    , przy czym zachodzi wzór

 

MONOTONICZNOŚĆ

 

1. 1)     
   funkcja w przedziale (a,b) jest funkcją rosną

2. 2)     
   funkcja w przedziale (a,b) jest funkcją malejącą

3. 3)      Funkcja jest funkcją stałą w przedziale (a,b)
   

 

4. 4)      TW: Funkcja f jest funkcją niemalejącą (nierosnącą) na X wtedy i tylko wtedy, gdy
   
   

 

 

5. 5)      TW: Funkcja f jest funkcją rosnącą (malejącą) na X wtedy i tylko wtedy, gdy
   
   ) oraz f' nie równa się tożsamościowo zero na żadnym podprzedziale przedziału X. - 1,2,3 są to twierdzenia określające warunki konieczne i wystarczające monotoniczności funkcji.

 

6. 6)      Def: Funkcja f(x) posiada w punkcie
   maksimum (minimum) lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sąsiedztwo punktu
   takie, że dla dowolnego argumentu x z tego sąsiedztwa
   
   . Jeżeli w tych dwóch definicjach nierówności nieostre zastąpimy ostrymi to otrzymamy definicję odpowiednio maksimum i minimum lokalnego właściwego.

 

7. 7)      Warunki konieczne istnienia ekstremum lokalnego: Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie
   i posiada w tym punkcie ekstremum to : 1) posiada w punkcie
   pochodną, która przyjmuje w nim wartość równą 0 2) lub funkcja w punkcie
   pochodnej nie posiada.

Punkty, w których pochodna równa jest 0 lub nie istnieje nazywane są punktami stacjonarnymi.

 

8. 8)      Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie
   i posiada w jego sąsiedztwie pochodną, która zmienia w tym sąsiedztwie swój znak to funkcja w punkcie
   posiada ekstremum, przy czym jest to maksimum gdy zmiana znaku jest z plusa na minus, a minimum gdy z minusa na plus

 

 

 

 

 

 

Badanie monotoniczności:

1. 1.         
   
   

liczymy dziedzinę f

2. 2.          liczymy f'(x)

3. 3.          liczymy dziedzinę f'(x)

4. 4.          liczymy f'(x)=0

5. 5.          przedziały monotoniczności - warunek wystarczający

 

DALSZE POCHODNE

 

1)


2) TW (warunki wystarczające do istnienia ekstremum funkcji): Jeżeli

1. funkcja f(x) posiada w otoczeniu pkt
wszystkie pochodne do rzędu n-tego włącznie

2. pochodna rzędu n-tego jest funkcją ciągłą

3.


4.
,

to a) n jest parzyste
funkcja w punkcie
posiada ekstremum przy czym jest to maksimum, gdy


b) n jest nieparzyste
funkcja w punkcie
ekstremum nie posiada

 

 

WYPUKŁOŚĆ, WKLĘSŁOŚĆ, PUNKT PRZEGIĘCIA

 

1. 1)      mówimy, że funkcja ma w pewnym przedziale wykres wypukły (wklęsły)
   leży poniżej (powyżej) stycznej poprowadzonej w dowolnym punkcie tego wykresu.

2. 2)      TW:
   funkcja w przedziale (a,b) ma wykres wypukły

3. 3)      TW:
   funkcja w przedziale (a,b) ma wykres wklęsły

4. 4)      Punkt
   o współrzędnych
   nazywamy punktem przegięcia funkcji f
   w sąsiedztwie punktu
   funkcja zmienia kształt z wypukłej na wklęsłą lub z wklęsłej na wypukłą

5. 5)      TW (warunki konieczne istnienia pkt przegięcia): Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie
   i posiada pochodną rzędu 2 w jego sąsiedztwie i punkt
   o współrzędnych
   jest punktem przegięcia
   1) funkcja w punkcie
   posiada pochodną rzędu 2, która przyjmuje w nim wartość równą 0
   lub 2) funkcja w punkcie
   pochodnej rzędu 2 nie posiada

6. 6)      TW (warunki wystarczające istnienia pkt przegięcia): jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie
   i posiada w jego sąsiedztwie pochodną rzędu drugiego, która w tym sąsiedztwie zmienia swój znak to funkcja w punkcie
   posiada punkt przegięcia.

 

 

 

 

 

 

ASYMPTOTY

 

1. 1)      PIONOWA Prosta o równaniu
   jest asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f
   
   (prawostronna do
   ) W punkcie jest asymptota pionowa, gdy punkt poza dziedziną i granica jednostronna zmierza do
   . Jeżeli obie wymienione granice są niewłaściwe, to prostą x=x0 nazywamy odpowiednio asymptotą pionową obustronną.

 

2. 2)      UKOŚNA Prostą o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotę ukośną (poziomą gdy a=0) lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f
   
   (odpowiednio plus i minus nieskończoność)

 

3. 3)      Wykres nie może mieć jednocześnie asymptoty ukośnej prawostronnej i poziomej prawostronnej

 

4. 4)      TW (o warunkach koniecznych i wystarczających): Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby prosta y=ax+b była asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f jest istnienie dwóch granic właściwych
   i
   

 

(
dla prawostronnej)

 

TWIERDZENIE DE L'HOSPITALA

 

1. 1)      Jeżeli
   są określone w pewnym sąsiedztwie punktu
   i
   lub
   i istnieje granica
   to istnieje granica przy
   i
   .

2. 2)      Twierdzenie to jest również prawdziwe dla granic jednostronnych funkcji i dla granic funkcji w + lub - nieskończoność

3. 3)      Twierdzenie możemy stosować tak długo aż nie znikną nieoznaczone symbole
   

4. 4)     
   - funkcja o dziedzinie D=R-{0}, gdzie punkt wyrzucony z dziedziny nie jest asymptotą

5. 5)      stosowane do
   

 

BADANIE PRZEBIEGU WYKRESU FUNKCJI

1. 1.       dziedzina,

2. 2.       parzystość, nieparzystość

3. 3.       punkty przecięcia z osiami układu

4. 4.       granice na końcach przedziałów określonych

5. 5.       asymptoty

6. 6.       pierwsza pochodne - przedziały monotoniczności, ekstrema

7. 7.       druga pochodna - przedziały wklęsłości i wypukłości, punkt przegięcia

8. 8.       wykres (ewentualnie najpierw tabelka)

 

-


- równanie stycznej do wykres:


- aproksymacja to przybliżenie wartości funkcji za pomocą funkcji liniowej

 

ZASTOSOWANIE EKONOMICZNE

 

1. 1)      koszt marginalny to koszt wyprodukowania kolejnej jednostki

Cq) - koszt całkowity AC(q)=



2. 2)      elastyczność w przedziale - elastyczność funkcji jest ilorazem względnego przyrostu funkcji do względnego przyrostu argumentu:




3. 3)      Elastyczność jest to procentowa zmiana wartości funkcji, która odpowiada zmianie argumentu o 1%

4. 4)      Granica elastyczności funkcji f na przedziale
   nazywana jest elastycznością funkcji f w punkcie x :




 

 

 

1

Warunek konieczny

---