Funkcje dwóch zmiennych

Wykªad (Budownictwo)

•

Pochodne cz¡stkowe

•

Pochodne cz¡stkowe wy»szych rz¦dów

•

Ró»niczka zupeªna funkcji

•

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Denicja 1. (przestrze« eukildesowa)

Przestrzeni¡ euklidesow¡ p-wymiarow¡ nazywamy zbiór wszystkich ci¡gów
p

-wyrazowych (a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

, gdzie a

i

∈ R i i = 1, 2, . . . n.

Uwaga 1. Elementy a

i

tych ci¡gów nazywa si¦ wspóªrz¦dnymi, a same ci¡gi

- wektorami albo punktami przestrzeni euklidesowej p-wymiarowej.
Uwaga 2. Przestrze« euklidesow¡ p-wymiarow¡ b¦dziemy oznacza¢ symbolem
R

p

, natomiast jej elementy du»ymi literami, np. A = (a

1

, a

2

, . . . , a

p

)

.

Uwaga 3. Przestrze« euklidesow¡ dwuwymiarow¡ R

2

mo»emy interpretowa¢

geometrycznie jako pªaszczyzn¦, elementy tej pªaszczyzny A = (a

1

, a

2

)

jako

punkty pªaszczyzny, dla których a

1

oznacza odci¦t¡, a a

2

rz¦dn¡ punktu A.

Uwaga 4. Przestrze« euklidesowa trójwymiarowa R

3

jest (znan¡ nam z geo-

metrii) przestrzeni¡, w której liczby a

1

, a

2

, a

3

s¡ wspóªrz¦dnymi punktu A =

(a

1

, a

2

, a

3

)

.

Denicja 2. (funkcja dwóch zmiennych)

Mówimy, »e w zbiorze A (zwanym dziedzin¡ funkcji) zawartym w przestrzeni

euklidesowej R

2

zostaªa okre±lona pewna funkcja f, je»eli ka»demu punktowi

P = (x, y)

ze zbioru A jest przyporz¡dkowana dokªadnie jedna liczba z.

Przyporz¡dkowanie to zapisujemy w postaci:

z = f (x, y).

Przykªad 1. Funkcje z =

1

x − y

, z =

p

x

2

− y

2

s¡ przykªadami funkcji

dwóch zmiennych.
Denicja 3. (pochodna cz¡stkowa)

Pochodn¡ cz¡stkow¡ rz¦du pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y)

w punkcie (x

0

, y

0

)

wzgl¦dem zmiennej x nazywamy granic¦ (je»eli istnieje):

lim

h→0

f (x

0

+ h, y

0

) − f (x

0

, y

0

)

h

.

Pochodn¡ cz¡stkow¡ (rz¦du pierwszego) funkcji z = f(x, y) w punkcie (x

0

, y

0

)

wzgl¦dem zmiennej y deniujemy jako granic¦:

lim

h→0

f (x

0

, y

0

+ h) − f (x

0

, y

0

)

h

.

Uwaga 5. Pochodne cz¡stkowe funkcji z = f(x, y) wzgl¦dem zmiennej x

oznaczamy symbolami

∂z

∂x

,

∂f (x, y)

∂x

lub

z

0

x

,

f

0

x

(x, y),

1

a wzgl¦dem zmiennej y odpowiednio

∂z

∂y

,

∂f (x, y)

∂y

lub

z

0

y

,

f

0

y

(x, y).

Uwaga 6. W praktyce pochodn¡ cz¡stkow¡ wzgl¦dem zmiennej x obliczamy

tak jak zwykª¡ pochodn¡ funkcji jednej zmiennej x, przy czym zmienn¡ y

traktujemy jak staª¡. Podobnie, obliczaj¡c pochodn¡ cz¡stkow¡ wzgl¦dem

zmiennej y, zmienn¡ x traktujemy jak staª¡.

Denicja 4. (funkcja klasy C

1

)

Funkcj¦ dwóch zmiennych, maj¡c¡ pochodne rz¦du pierwszego ci¡gªe, nazy-

wamy funkcj¡ klasy C

1

.

‚wiczenie 1. Oblicz pochodne cz¡stkowe nast¦puj¡cych funkcji:

a) z = 3x

2

y

2

− x cos y

,

b) z = x

√

y

.

‚wiczenie 2. Wykaza¢, »e funkcja z = ln (e

x

+ e

y

)

speªnia równanie ró»niczkowe

∂z

∂x

+

∂z

∂y

= 1

.

‚wiczenie 3. Wykaza¢, »e funkcja z = e

x

y2

speªnia równanie ró»niczkowe

2x

∂z

∂x

+ y

∂z

∂y

= 0

.

Denicja 5. (ró»niczka zupeªna funkcji)

Ró»niczk¡ zupeªn¡ funkcji z = f(x, y), klasy C

1

, w punkcie (x

0

, y

0

)

nazy-

wamy funkcj¦ liniow¡ df przyrostów 4x = x − x

0

i 4y = y − y

0

okre±lon¡

wzorem:

df (4x, 4y) := f

0

x

(x

0

, y

0

)4x + f

0

y

(x

0

, y

0

)4y.

Twierdzenie 1. ( zastosowanie ró»niczki do oblicze« przybli»onych)

Je»eli funkcja z = f(x, y) jest klasy C

1

,to

f (x

0

+ 4x, y

0

+ 4y) ≈ f (x

0

, y

0

) + df (4x, 4y).

‚wiczenie 4. Obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:

a) (1.02)

3.01

b) p(6.2)

2

+ (8.1)

2

c)

8.04

2.02

.

2

Denicja 6. (pochodna cz¡stkowa rz¦du drugiego)

Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji z = f(x, y) nazywamy

pochodne cz¡stkowe pochodnych f

0

x

(x, y)

, f

0

y

(x, y)

. Wszystkich pochodnych

cz¡stkowych rz¦du drugiego funkcji z = f(x, y) jest cztery, mianowicie:

f

00

xx

=

∂

2

f

∂x

2

=

∂

∂x

 ∂f

∂x



,

f

00

xy

=

∂

2

f

∂x∂y

=

∂

∂y

 ∂f

∂x



,

f

00

yx

=

∂

2

f

∂y∂x

=

∂

∂x

 ∂f

∂y



,

f

00

yy

=

∂

2

f

∂y

2

=

∂

∂y

 ∂f

∂y



,

przy czym zapis ∂x

2

jest skrótem zapisu ∂x∂x.

Uwaga 7. Pochodne cz¡stkowe f

00

xx

i f

00

yy

nazywamy pochodnymi czystymi,

natomiast pochodne f

00

xy

i f

00

yx

nazywamy pochodnymi mieszanymi.

Denicja 7. (funkcja klasy C

2

)

Funkcj¦ dwóch zmiennych, maj¡c¡ ci¡gªe pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego,

nazywamy funkcj¡ klasy C

2

.

Twierdzenie 2. ( Schwarza o pochodnych mieszanych)

Je»eli funkcja f jest klasy C

2

, to pochodne mieszane, ró»ni¡ce si¦ tylko kolej-

no±ci¡ ró»niczkowania, s¡ parami równe.
‚wiczenie 5. Oblicz pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego funkcji z = ln(x

2

+

y)

.

Twierdzenie 3. ( warunek konieczny istnienia ekstremum)

Je»eli funkcja z = f(x, y) klasy C

1

ma w punkcie (x

0

, y

0

)

ekstremum lokalne,

to

f

0

x

(x

0

, y

0

) = 0

i

f

0

y

(x

0

, y

0

) = 0.

Twierdzenie 4. ( warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum)

Je»eli funkcja z = f(x, y) klasy C

2

speªnia warunki:

1. f

0

x

(x

0

, y

0

) = 0

i f

0

y

(x

0

, y

0

) = 0,

2. W (x

0

, y

0

) =






f

00

xx

(x

0

, y

0

) f

00

xy

(x

0

, y

0

)

f

00

yx

(x

0

, y

0

) f

00

yy

(x

0

, y

0

)






> 0,

to funkcja z = f(x, y) ma w punkcie (x

0

, y

0

)

ekstremum, przy czym je»eli

f

00

xx

(x

0

, y

0

) > 0,

to jest to minimum lokalne, je»eli za±

f

00

xx

(x

0

, y

0

) < 0,

to jest maksimum lokalne.

3

Uwaga 8. Je»eli W (x

0

, y

0

) < 0

, to funkcja z = f(x, y) nie ma ekstremum w

punkcie (x

0

, y

0

)

. Je»eli natomiast W (x

0

, y

0

) = 0

, to w pewnych przypadkach

funkcja ma ekstremum w punkcie (x

0

, y

0

)

(np. funkcja z = x

4

+ y

4

w punkcie

(0, 0)

) , a w innych nie ma (np. funkcja z = x

3

+ y

2

w punkcie (0, 0)).

‚wiczenie 6. Zada¢ ekstrema funkcji

f (x, y) = 3x

2

y − x

3

− y

4

.

‚wiczenie 7. Okre±li¢ wymiary otwartego zbiornika prostopadªo±ciennego o

obj¦to±ci 32m

3

tak, aby jego pole powierzchni byªo minimalne.

4