Funkcje dwóch zmiennych

Zagadnienia wst

epne

edziemy si

e zajmowali funkcjami postaci f : D → R gdzie D ⊂ R

. Poj

ecia

granicy, ci

ag lo´

sci, pochodnej, ekstremum lokalnego i globalnego zostan

a prze-

niesione w t

e now

a przestrze´

n. Na pocz

atek kilka podstawowych poj

e´

c topolo-

gicznych na p laszczy´

znie.

Definicja 1.1 Niech

, y

)

n∈N

edzie ci

agiem punkt´

ow p laszczyzny. Po-

wiemy, ˙ze ci

ag ten d

a˙zy do punktu (x

, y

), gdy x

→ x

i y

→ y

przy n → ∞.

Definicja 1.2 Niech (x

, y

), (x

, y

) ∈ R

. Odleg lo´

sci

a mi

edzy tymi punktami

edziemy nazywali liczb

, y

), (x

, y

)

− x

)

+ (y

− y

)

Definicja 1.3 Kul

a o ´

srodku w p ∈ R

i promieniu r > 0 nazywamy zbi´

K(p, r) = {q ∈ R

: d(p, q) < r}.

Definicja 1.4 Niech D ⊂ R

, p ∈ D. Powiemy, ˙ze D jest otoczeniem punktu

p (lub: punkt p le˙zy we wn

etrzu D), je´

sli istnieje taki promie´

n r > 0, ˙ze

K(p, r) ⊂ D. Zbi´

or wszystkich punkt´

ow wewn

etrznych zbioru D nazywamy jego

etrzem i oznaczamy przez IntD.

Definicja 1.5 Zbi´

or D ⊂ R

nazwiemy otwartym, je˙zeli jest on otoczeniem

ka˙zdego swojego punktu.

Definicja 1.6 Zbi´

or D ⊂ R

nazwiemy domkni

etym, je˙zeli R

\ D jest zbiorem

otwartym.

Definicja 1.7 Zbi´

or D ⊂ R

nazwiemy ograniczonym, je˙zeli istnieje takie r > 0,

˙ze

D ⊂ K((0, 0), r).

Definicja 1.8 Niech D ⊂ R

, p ∈ R

. Powiemy, ˙ze p jest punktem skupienia

zbioru D je˙zeli istnieje ci

ag (q

)

n∈N

punkt´

ow zbioru D r´

o˙znych od p, zbie˙zny

do p.

Definicja 1.9 Suma zbioru D i zbioru jego punkt´

ow skupienia jest nazywana

domkni

eciem zbioru D.

Definicja 1.10 Zbi´

or otwarty, kt´

orego nie da si

e przedstawi´

c jako sumy dw´

och

roz lacznych zbior´

ow otwartych i niepustych, nazywamy obszarem.

Definicja 1.11 Domkni

ecie obszaru nazywamy obszarem domkni

etym.

Definicja 1.12 Liczb

δ(D) = sup{d(p, q) : p, q ∈ D}

nazywamy ´

srednic

a zbioru D.

Granica i ci

ag lo´

s´

c funkcji dw´

och zmiennych

Definicja 2.1 Niech f

: D → R gdzie D ⊂ R

. Niech p = (x

, y

) b

edzie

punktem skupienia zbioru D. Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie p granic

e g

(r´

own

a by´

c mo˙ze + − ∞), je˙zeli dla ka˙zdego ci

agu (q

)

n∈N

punkt´

ow zbioru D

r´

o˙znych od p, zbie˙znego do p zachodzi f (q

) → g.

Definicja 2.2 Niech f

: D → R gdzie D ⊂ R

. Niech p = (x

, y

) ∈ D.

Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci

ag la w punkcie p, je˙zeli dla ka˙zdego ci

agu (q

)

n∈N

punkt´

ow zbioru D zbie˙znego do p zachodzi f (q

) → f(p).

Definicja 2.3 Powiemy, ˙ze f : D → R jest ci

ag la na D, je˙zeli jest ci

ag la w

ka˙zdym punkcie tego zbioru.

Twierdzenie 2.1 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Niech f : D → R b

edzie

ag la w punkcie p ∈ D i niech f (p) > 0. W´

owczas istnieje takie otoczenie V

punktu p, ˙ze f (q) > 0 dla q ∈ D ∩ V.

Twierdzenie 2.2 (Weierstrassa o przyjmowaniu kres´

ow) Niech f : D → R

gdzie D ⊂ R

jest zbiorem domkni

etym i ograniczonym. Niech f b

edzie ci

ag la

na D. W´

owczas

1. f jest funkcj

a ograniczon

2. istniej

a takie punkty p

max

i p

min

, ˙ze

f (p

max

) = max{f(q) : q ∈ D}

f(p

min

) = min{f(q) : q ∈ D}.

Pochodne cz

astkowe i ekstrema funkcji dw´

och

zmiennych

Definicja 3.1 Niech f : D → R, niech D b

edzie otoczeniem punktu (x

, y

Granic

lim

h→0

f (x

+ h, y

) − f (x

, y

)

(je´

sli istnieje) b

edziemy nazywa´

c pochodn

a cz

astkow

a funkcji f po pierwszej

zmiennej w punkcie (x

, y

) i oznacza´

c przez f

, y

). Liczb

e t

e mo˙zna uto˙zsami´

z pochodn

a w punkcie x

funkcji jednej zmiennej powsta lej z f przez ustalenie

y = y

Definicj

e pochodnej cz

astkowej po drugiej zmiennej pozostawiamy czytelni-

kowi.

Je˙zeli pochodnie cz

astkowe f

i f

istniej

a w pewnym otoczeniu V punktu

, y

), to mo˙zemy je potraktowa´

c jako nowe funkcje dw´

och zmiennych. Licz

z kolei ich pochodne cz

astkowe w (x

, y

) (je´

sli istniej

a) otrzymamy liczby

, y

), f

, y

), f

, y

), f

, y

)

zwane pochodnymi cz

astkowymi drugiego rz

edu funkcji f w punkcie (x

, y

Twierdzenie 3.1 (Schwarza) Je˙zeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu

, y

) pochodne cz

astkowe mieszane f

i f

i s

a one ci

ag le w (x

, y

) to

, y

) = f

, y

)

Definicja 3.2 Powiemy, ˙ze funkcja f

D → R ma maksimum lokalne w

punkcie p ∈ D, je˙zeli istnieje takie otoczenie V punktu p, ˙ze f (p) ≥ f(q) dla

q ∈ D ∩ V.

Definicja 3.3 Powiemy, ˙ze funkcja f : D → R ma maksimum lokalne w la´

sciwe

w punkcie p ∈ D je˙zeli istnieje takie otoczenie V punktu p, ˙ze f (p) > f(q) dla

q ∈ D ∩ V \ {p}.

Definicja 3.4 Powiemy, ˙ze funkcja f : D → R ma maksimum absolutne w

punkcie p ∈ D, je˙zeli f (p) ≥ f(q) dla q ∈ D.

Twierdzenie 3.2 (warunek konieczny istniena ekstremum) Niech f

: D →

R, niech D b

edzie otoczeniem punktu (x

, y

). Je˙zeli funkcja f ma w (x

, y

)

pochodne cz

astkowe i ma w tym punkcie maksimum lokalne, to

, y

) = f

, y

) = 0.

Definicja 3.5 Niech f posiada ci

ag le pochodne cz

astkowe drugiego rz

edu na

pewnym zbiorze otwartym D. Liczb

W (x

, y

) = det

, y

)

, y

)

, y

)

, y

)

nazywamy wyr´

o˙znikiem funkcji f w (x

, y

Twierdzenie 3.3 (warunek wystarczaj

acy istnienia ekstremum lokalnego) Niech

f posiada ci

ag le pochodne cz

astkowe drugiego rz

edu na pewnym otoczeniu

otwartym D punktu (x

, y

). Je˙zeli

1. f

, y

) = 0, f

, y

) = 0,

2. W (x

, y

) > 0,

to funkcja f ma w (x

, y

) ekstremum lokalne w la´

sciwe.

Uwaga 3.1 Je˙zeli w tej samej sytuacji otrzymamy W (x

, y

) < 0, oznacza to,

˙ze w punkcie (x

, y

) nie ma ekstremum lokalnego.

R´

o ˙zniczka zupe lna funkcji

Definicja 4.1 Niech f : D → R, niech D b

edzie otoczeniem punktu (x

, y

Funkcj

e liniow

a A(x, y) = a · x + b · y spe lniaj

a warunek

lim

(x,y)→(x

)

f (x, y) − f (x

, y

) − A(x − x

, y − y

)

p(x − x

)

+ (y − y

)

= 0

(je´

sli taka istnieje) nazwiemy r´

o˙zniczk

a zupe ln

a funkcji f w (x

, y

). O funkcji

f powiemy w´

owczas, ˙ze jest r´

o˙zniczkowalna w punkcie (x

, y

Twierdzenie 4.1 Je˙zeli funkcja liniowa A(x, y) = a · x + b · y jest r´

o˙zniczk

zupe ln

a funkcji f w (x

, y

) to f posiada w tym punkcie pochodne cz

astkowe

r´

owne

, y

) = a, f

, y

) = b.

Funkcja uwik lana

Definicja 5.1 Niech F : D → R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

Ka˙zd

a funkcj

e ci

ag l

a y = y(x) okre´

slon

a na pewnym przedziale I ⊂ R tak

˙ze F (x, y(x)) = 0 dla x ∈ I nazwiemy funkcj

a uwik lan

a dan

a r´

ownaniem

F (x, y) = 0.

Uwaga 5.1 R´

ownanie F (x, y) = 0 mo˙ze na pewnym przedziale okre´

sla´

c jedn

funkcj

e uwik lan

a, wiele funkcji uwik lanych lub ˙zadnej.

Twierdzenie 5.1 (o istnieniu funkcji uwik lanej) Je˙zeli F jest klasy C

(czyli

ma ci

ag le pochodne cz

astkowe pierwszego rz

edu) w pewnym otoczeniu punktu

, y

) oraz

F (x

, y

) = 0 i F

0
y

, y

) 6= 0

to na pewnym otoczeniu punktu x

istnieje dok ladnie jedna funkcja dana r´

ownaniem

F (x, y) = 0 i spe lniaj

aca warunek y(x

) = y

. Funkcja ta ma ci

ag l

a pochodn

okre´

slon

a wzorem

(x) = −

(x, y(x))

Twierdzenie 5.2 (warunek wystarczaj

acy istnienia ekstremum funkcji uwik lanej)

Je˙zeli F jest funkcj

a klasy C

na pewnym otoczeniu punktu (x

, y

) oraz

1. F (x

, y

) = 0,

2. F

, y

) = 0,

3. F

, y

) 6= 0,

4. I(x

, y

) = −

)

6= 0

to funkcja uwik lana y = y(x) okre´

slona r´

ownaniem F (x, y) = 0 i spe lniaj

aca

warunek y(x

) = y

ma w punkcie x

ekstremum lokalne y

. Jest to maksimum

gdy I(x

, y

) < 0 i minimum, gdy I(x

, y

) > 0.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 6 Różniczki funkcji dwóch zmiennych
1 funkcje dwoch zmiennych
09 Rozdział 07 Więcej o całce funkcji dwóch zmiennych
4 5 Ekstrema funkcji dwoch zmiennych
funkcje dwoch zmiennych
6 Funkcja dwóch zmiennych 2 zadania
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych, Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych, AGH górnictwo i geologia, I SEM, matematyka
6 funkcje dwoch zmiennych
funkcje dwóch zmiennych wykład
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych[1], Analiza
8 Funkcje dwóch zmiennych
RACHUNEK?LKOWY FUNKCJI DWOCH ZMIENNYCH
Funkcje dwóch zmiennych
sciaga20 rozniczka zupelna funkcji dwoch zmiennych, Księgozbiór, Studia, Pozostałe
E3 Funkcje dwóch zmiennych rozwiązywanie zadań
AM23 w08 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
07 Rozdział 05 Całka funkcji dwóch zmiennych

więcej podobnych podstron