7.

Funkcje wielu zmiennych: określenie funkcji wielu zmiennych, granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodne
cząstkowe, ekstrema lokalne, ekstrema warunkowe, największa i najmniejsza wartość funkcji. Przykłady
wykorzystania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych w ekonomii.

Definicja. Funkcją

zmiennych nazywamy funkcję :  → , gdzie  jest podzbiorem przestrzeni 



.

Zadanie 1. Funkcja dwóch zmiennych dana jest wzorem

 ,  = 16 −



− 



. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

.

Zadanie 2. Niech

 ,  = 3 + 5. Wiemy, że punkt



, 



, 



= 1, 



, 3 należy do wykresu tej funkcji.

Obliczyć





.

Suma, różnica, iloczyn i iloraz (pod warunkiem, że mianownik jest różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Zadanie 3. Czy podane funkcje są funkcjami ciągłymi. Odpowiedź uzasadnij.

a)

: 



→ ,  ,  =







b)

: 



→ ,  ,  =

cos



+ 



c)

: 



→ ,  ,  =

cos −




!



"

Zadanie 4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji.

a)

 ,  =







b)

 ,  =

cos



+ 5

c)

 ,  = ln %



+ 

d)

 ,  = %

 &!

Zadanie 5. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

a)

 ,  =



+ 



− 2 + 4 + 5

b)

 ,  = %

)

+ 



c)

 ,  =



+ 3 



− 15 − 12

Zadanie 6. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji:

a)

 ,  = 2



+ 



−  w kole



+ 



≤ 1

b)

 ,  = 4



+ 5



− −  w kwadracie | | ≤ 7, || ≤ 7

c)

 ,  = %

)



)!



+ 2 w 



Zadanie 7. Niech funkcją produkcji w pewnym przedsiębiorstwie jest

Q

KL

=

, gdzie: Q – wielkość produkcji,

,

K L

– nakłady odpowiednio majątku i siły roboczej.

1.

Zdefiniuj kategorie produktywności przeciętnej i produktywności krańcowej nakładu siły roboczej.

2.

Załóż, że przedsiębiorstwo może przeznaczyć na wynajęcie czynników produkcji

C jednostek pieniężnych.

Wyznacz największą możliwą do wytworzenia wielkość produkcji oraz nakłady obu czynników produkcji
wiedząc, że koszt wynajęcia jednostki majątku i jednostki siły roboczej wynosi odpowiednio r i w .
Wykonaj stosowne obliczenia dla

100,

5,

1

C

r

w

=

=

=

.

Zadanie 8. Załóż, że funkcją użyteczności Adama jest

1

2

U

X X

=

, gdzie

i

X – wielkość spożycia dobra i-tego (

1, 2

i

=

). Wyprowadź marshallowskie funkcje popytu konsumpcyjnego wiedząc, że ograniczeniem budżetowym

Adama jest

1

1

2

2

p X

p X

Y

+

=

, gdzie

i

p – cena jednostkowa i-tego dobra (zł), Y – ilość pieniądza (zł).

1.

Wyznacz wielkości popytu na oba dobra dla

1

2

5,

2

p

p

=

=

oraz

100.

Y

=

2.

Pokaż o ile zmieni się popyt Adama na i-te dobro z zadania 1, gdy:

a.

cena jednostkowa j-tego dobra (

1, 2

j

=

) zmieni się o

j

dp , ceteris paribus;

b.

dochód Adama zmieni się o

dY , ceteris paribus.

3.

Pokaż o ile zmieni się popyt Adama na i-te dobro z zadania 1, gdy obie ceny jednostkowe oraz jego dochód
zmienią się t razy.