Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Funkcje wielu zmiennych.

1

Chemia - Zestaw nr 14.

a) Funkcje wielu zmiennych. Ekstrema funkcji.

• Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f : R

n

→ R

Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie a i jest różniczkowalna w tym punkcie, to f

0

x

i

(a) = 0

dla i = 1, ..., n.

• Warunek dostateczny istnienia ekstremum (dla funkcji dwóch zmiennych):

Jeżeli mamy daną funkcję dwóch zmiennych (ciągłą i mającą pochodne pierwszego i drugiego rzędu
ciągłe), to aby stwierdzić, czy funkcja ta ma ekstremum w punkcie a, w którym spełniony jest waru-
nek konieczny istnienia ekstremum, tzn. f

0

x

(a) = 0 oraz f

0

y

(a) = 0 – należy policzyć wyznacznik

W (a) =






f

00

xx

(a) f

00

xy

(a)

f

00

yx

(a) f

00

yy

(a)






.

1. Jeżeli W (a) < 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie a

2. Jeżeli W (a) > 0, to w punkcie a jest ekstremum lokalne funkcji f , przy czym jest to minimum,

gdy f

00

xx

(a) > 0, zaś maksimum – gdy f

00

xx

(a) < 0.

3. Jeżeli W (a) = 0, to istnienie ekstremum musi być zbadane innymi metodami (być może - z

definicji).

• Niech f, g będą dwiema funkcjami określonymi na podzbiorach przestrzeni R

n

i niech A = {x ∈

R

n

: g(x) = 0}. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum warunkowe przy warunku

g(x) = 0, jeżeli f |A (f obcięta do zbioru A) ma w tym punkcie ekstremum lokalne.
Aby znaleźć punkty, w których może występować ekstremum warunkowe (krytyczne punkty wa-
runkowe) stosujemy metodę mnożników Lagrange’a, tzn. określamy funkcję pomocniczą F (x) =

f (x) + λg(x) (λ–parametr), i rozwiązujemy układ równań







∂F

∂x

i

(x) = 0, i = 1, 2, . . . , n;

g(x) = 0.

Mamy

więc układ (n + 1) równań z (n + 1) niewiadomymi (n współrzędnych punktu x oraz parametr λ).
Rozwiązując ten układ otrzymujemy współrzędne krytycznych punktów warunkowych.

1) Obliczyć wskazane pochodne funkcji: a) f (x, y, z) =

1

px

2

+ y

2

+ z

2

; policzyć f

0

x

, f

0

y

, f

00

xx

, f

00

xy

; b)

g(x, y, z) = e

xyz

; policzyć g

000

x y z

c) h(x, y, z) = (x/y)

z

, policzyć h

0
x

, h

0
y

i h

0
z

; d) k(x, y, z) = x

y

z

, policzyć

k

0

x

, k

0

y

, k

0

z

, k

000

x y z

.

2) Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji: a) f (x, y) =

px

4

+ y

2

(Wsk. W (0, 0) policzyć z def.);

b) f (x, y) =

3

px

3

+ y

3

.

3) Dana jest funkcja f (x, y) =







x

3

y

x

2

+ y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = 0

oraz F (t) = f (t

2

, 2t

2

) i G(u, v) = f (u +

v, u − v)

a) Policzyć F

0

(0) i F

0

(1). b) Policzyć

∂G

∂u

i

∂G

∂v

c) Dodatkowo, wykazać że f

00

xy

(0, 0) 6= f

00

yx

(0, 0). (Podobny

przykład: f (x, y) =







xy

x

2

− y

2

x

2

+ y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = 0

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Funkcje wielu zmiennych.

2

3’) Obliczyć pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie dla funkcji f (x, y) = arc tg(y/x); f (x, y) =
x cos

2

(x + 2y + z

2

).

3”) Znaleźć z

0

x

, z

0

y

a następnie z

00

xx

, z

00

xy

, z

00

yy

, jeżeli z = f (u, v), gdzie u = u(x, y), v = v(x, y); zakładamy,

że f, u, v mają ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie.
Rozwiązanie. z

x

= z

u

u

x

+ z

v

v

x

,

z

y

= z

u

u

y

+ z

v

v

y

;

biorąc w pierwszym z tych wzorów z

u

zamiast z, dostajemy (z

u

)

x

= z

uu

u

x

+ z

uv

v

x

;

podobnie (z

u

)

y

= z

uu

u

y

+ z

uv

v

y

,

(z

v

)

x

= z

vu

u

x

+ z

vv

v

x

,

(z

v

)

y

= z

vu

u

y

+ z

vv

v

y

.

Wobec tego
z

xx

= (z

u

u

x

+ z

v

v

x

)

x

= (z

u

)

x

u

x

+ z

u

u

xx

+ (z

v

)

x

v

x

+ zvv

xx

= (z

uu

u

x

+ z

uv

v

x

)u

x

+ z

u

u

xx

+ (z

vu

u

x

+ z

vv

v

x

)v

x

+ z

v

v

xx

,

czyli
z

xx

= z

uu

(u

x

)

2

+ 2z

uv

u

x

v

x

+ z

vv

(v

x

)

2

+ z

u

u

xx

+ z

v

v

xx

.

Podobnie
z

xy

= z

uu

u

x

u

y

+ z

uv

(u

x

v

y

+ u

y

v

x

) + z

vv

v

x

v

y

+ z

u

u

xy

+ z

v

v

xy

,

wreszcie
z

yy

= z

uu

(u

y

)

2

+ 2z

uv

u

y

v

y

+ z

vv

(v

y

)

2

+ z

u

u

yy

+ z

v

v

yy

.

4) Znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych, określonych wzorem:
a) f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y

b) f (x, y) = e

x−y

(x

2

− 2y

2

)

c) f (x, y) = sin x + cos y +

cos(x − y),

0 < x, y < π/2.

d) f (x, y) = x

2

+ x

2

y + y

2

;

e) f (x, y) = x

2

− 6xy + y

3

;

f ) f (x, y) = x

3

+ y

2

− 6xy − 48x;

g) f (x, y) = x

3

+ 8y

3

− 6xy + 1;

h) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 6xy + 1.

5) Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji
a) f (x, y) = x

3

+ y

2

− 3x − 2y − 1 na zbiorze D = {(x, y) : x > 0, y > 0, x + y 6 3};

b) f (x, y, z) = x e

−(x

2

+y

2

+z

2

)

na zbiorze V = {(x, y, z) : x

2

+ y

2

+ z

2

6 1, z > 0};

c) f (x, y) = x

2

+ y

2

+ x + y + xy na obszarze D = {(x, y) : > 0, y 6 0, x − y 6 3};

d) f (x, y) = 2x

2

+ y

2

− 2y + 4 na obszarze D =



(x, y) ∈ R

2

: y >

1

4

x

2

, y 6 3 − |x|



;

e) f (x, y) = x

2

− xy + y

2

na obszarze D = {(x, y) ∈ R

2

: |x| + |y| 6 1};

f ) f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) na obszarze D =



(x, y) ∈ R

2

: 0 6 x 6

1

2

π, 0 6 y 6

1

2

π



.

6) Znaleźć krytyczne punkty warunkowe dla funkcji:
a) f (x, y) = xy

2

przy warunku x + y = 1;

b) f (x, y, z) = xyz

(x > 0, y > 0, z > 0) przy warunku x

2

+ y

2

+ z

2

= 3; c) f (x, y, z) = x + y + 2z

przy warunku x

2

+ y

2

+ z

2

= 1;

d) f (x, y) = cos

2

x + cos

2

y przy warunku x − y = π/4; e) f (x, y, z) = x

3

y − 8y + z przy warunku

z − 6x

2

= 0.

7) Znaleźć największą możliwą objętość prostopadłościanu o polu powierzchni całkowitej równym 6a

2

.

b) Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni.

• Dana jest powierzchnia opisana równaniem F (x, y, z) = 0 i punkt A(x

0

, y

0

, z

0

) należący do tej

powierzchni tzn. F (x

0

, y

0

, z

0

) = 0.

Płaszczyzna styczna do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:

∂F

∂x

(x

0

, y

0

, z

0

)(x − x

0

) +

∂F

∂y

(x

0

, y

0

, z

0

)(y − y

0

) +

∂F

∂z

(x

0

, y

0

, z

0

)(z − z

0

) = 0.

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Funkcje wielu zmiennych.

3

Prosta normalna do tej powierzchni w punkcie A ma przedstawienie parametryczne






x = x

0

+ F

0

x

(x

0

, y

0

, z

0

)t

y = y

0

+ F

0

y

(x

0

, y

0

, z

0

)t

z = z

0

+ F

0

z

(x

0

, y

0

, z

0

)t

.

1) Krzywa ma przedstawienie parametryczne: x = t − sin t, y = 1 − cos t, z = 4 sin(t/2). Napisać
równanie stycznej do tej krzywej w punkcie P

0

(π/2 − 1, 1, 2

√

2).

2) Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni w podanym punkcie:

a) z = arc tg(y/x), w punkcie P

0

(1, 1, π/4);

b) z = 2x

2

+ y

2

, w punkcie P

0

(1, −1, 3);

c) z = (x

3

− 3axy + y

3

)/a

2

, w punkcie (a, a, −a);

d) 4 +

px

2

+ y

2

+ z

2

= x + y + z, w punkcie

(2, 3, 6).

3) Wykazać, że powierzchnie x + 2y − ln z + 4 = 0 i x

2

− xy − 8x + z + 5 = 0 są styczne do siebie w

punkcie P

0

(2, −3, 1).

4) Wykazać, że płaszczyzna styczna do powierzchni

√

x +

√

y +

√

z =

√

a odcina na osiach układu

współrzędnych odcinki, których suma długości jest stała.
5) Na sferze x

2

+ y

2

+ z

2

= 676(= 26

2

) znaleźć punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa

do płaszczyzny 3x − 12y + 4z = 0. Napisać równanie płaszczyzny stycznej w tych punktach.
6a) Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do sfery x

2

+ y

2

+ z

2

− 8x − 4z = 205 i równoległej do

płaszczyzny 10x − 11y − 2z + 3 = 0.
6b) Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni 2x

2

+ 4xy + z

2

− 10 = 0 i równoległej do

płaszczyzny 2x + y + z − 10 = 0.
7) Na powierzchni x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

+ 2xy + 2xz + 4yz = 8 znaleźć punkty, w których płaszczyzny styczne

są równoległe do płaszczyzn układu współrzędnych.
8) Napisać równanie płaszczyzn stycznych do paraboloidy 4z = x

2

+ y

2

w punktach jej przecięcia z

prostą x = y = z.
9) Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni xyz = m

3

tworzą wraz z płaszczyznami układu

współrzędnych czworościan o stałej objętości.

c) Funkcje uwikłane i ich ekstrema.

• Funkcja uwikłana. Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych (ciągłą wraz z pierwszymi pochod-

nymi cząstkowymi w otoczeniu punktu (x

0

, y

0

)). Niech F (x

0

, y

0

) = 0, a F

0

y

(x

0

, y

0

) 6= 0. Wtedy

istnieją liczby δ > 0 i ε > 0 takie, że dla każdego x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ) istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie y = y(x) = f (x) równania F (x, y) = 0 takie że y ∈ (y

0

− ε, y

0

+ ε), przy czym oczywi-

ście y(x

0

) = y

0

; w ten sposób równanie F (x, y) = 0 wyznacza funkcję uwikłaną y = y(x) = f (x)

(w pewnym otoczeniu punktu x

0

, o wartościach z pewnego otoczenia punktu y

0

; inaczej mówiąc,

wykres tej funkcji jest zawarty w pewnym prostokątnym otoczeniu punktu (x

0

, y

0

)). Jest to funk-

cja ciągła i różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x

0

, a jej pochodna w tym otoczeniu jest

określona wzorem:

f

0

(x) = −

F

0

x

(x, f (x))

F

0

y

(x, f (x))

.

Przy założeniu że funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie, istnieje
też druga pochodna funkcji uwikłanej i wyraża się wzorem

f

00

(x) = −

F

00

xx

F

0

y

2

− 2F

00

xy

F

0

x

F

0

y

+ F

00

yy

F

0

x

2

F

0

y

3

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Funkcje wielu zmiennych.

4

[wszystkie występujące tu pochodne są brane w punkcie (x, f (x)), czyli (x, y(x))].

• Ekstrema funkcji uwikłanej. Jeżeli równanie F (x, y) = 0 określa funkcję uwikłaną y = y(x) =

f (x) oraz F (x

0

, y

0

) = 0, F

0

x

(x

0

, y

0

) = 0, F

0

y

(x

0

, y

0

) 6= 0 i f

00

(x

0

) = −

F

00

xx

(x

0

, y

0

)

F

0

y

(x

0

, y

0

)

6= 0, to w punkcie

x

0

istnieje ekstremum funkcji uwikłanej y = f (x) i jest to minimum, gdy f

00

(x

0

) > 0, tzn. gdy

F

00

xx

(x

0

, y

0

)

F

0

y

(x

0

, y

0

)

< 0, zaś maksimum – gdy f

00

(x

0

) < 0, tzn. gdy

F

00

xx

(x

0

, y

0

)

F

0

y

(x

0

, y

0

)

> 0.

1) Znaleźć pierwszą pochodną funkcji uwikłanej y = y(x), opisanej równaniem:

a) x

3

y − xy

3

= 1;

b) xe

y

+ ye

x

− e

xy

= 0.

2) Znaleźć drugą pochodną w punkcie (0, 1) funkcji uwikłanej y = y(x), opisanej równaniem:

a) x

2

− xy + 2y

2

+ x − y − 1 = 0;

b) x

2

+ xy + y

2

= 1.

3) Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = y(x), opisanej równaniem:

a) 2x

2

+ y

2

+ 8xy − y + 8 = 0;

b) x

4

+ y

4

= x

2

+ y

2

;

c) y

2

− 2yx

2

+ 4x − 3 = 0;

d) x

3

+ y

3

− 6xy = 0;

e) x

2

y

2

− x

4

+ y

4

− 5 = 0.