Funkcje wielu zmiennych

1. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji

a) f(x,y)=sin²(2x+y) b) f(x,y)=
c) f(x,y)=ln(x²+y) d)
e)

2. Niech g(x,y)=f(xy,x²+y²), gdzie f ma ciągle pochodne cząstkowe . Obliczyć
   .

3. Zbadać różniczkowalność funkcji

a)
b)

4. Obliczyć różniczkę rzędu pierwszego funkcji f(x,y,z)=w punkcie (1,2,1).

5. Wykorzystując różniczkę obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

a)
b)
c)
d)
.

6. Dobroć cewki jest funkcją pulsacji ω, indukcyjności L i oporu R. Wyrazić w przybliżeniu względną zmianę dobroci w zależności od względnych zmian ω, L, R dla małych przyrostów dω, dL i dR..

7. Wykazać, że funkcja
   (zwana potencjałem newtonowskim punktu (x₀,y₀,z₀) ) spełnia poza punktem (x₀,y₀,z₀) równanie różniczkowe Laplace'a
   .

8. Napisać wzór Taylora dla funkcji określonych wzorami:

a) f(x,y)=-x²+2xy+3y²-6x-2y-4 w punkcie P₀(-2,1) dla n>2

b) f(x,y,z)=x²e^y cos z w punkcie P₀(1,0,) dla n=2

9. Znaleźć ekstrema funkcji określonych wzorami:

a) f(x,y)=x³+xy²+6xy b) f(x,y)=(x²+y)
c) f(x,y)=3ln
+2ln y+ln(12-x-y) d) f(x,y)=x+
e)
f)

g) f(x,y,z)=2x²-xy+2xz-y+y³+z² h)

6. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w zadanym obszarze

a) f(x,y)=x²+2xy-4x+8y w prostokącie 0 ≤x≤1 , 0≤y≤2.

b) f(x,y)=x²+y²-xy+x+y w trójkącie ograniczonym przez proste : x=0, y=0, x+y+3=0.

c) f(x,y)=x²-3xy+y² w prostokącie -1≤x≤1 , -1≤y≤1.

d) f(x,y,z)=x²+2 y²+3z² w kuli x²+ y²+z²≤100.

7. Znaleźć odległość punktu A(0,3,0) od powierzchni y=xz .

8. Na płaszczyźnie OXY dane są dwa punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂) w których umieszczono masy m₁ i odpowiednio m₂ . Wyznaczyć taki punkt płaszczyzny OXY , aby moment bezwładności danych mas względem prostej prostopadłej do płaszczyzny OXY w tym punkcie był najmniejszy.

9. Znaleźć równanie stycznej do krzywej 3x²-2xy+xy³=7 w punkcie (1,2)

10. Napisać równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (2,1,z₀) do wykresu funkcji z=yln(2+x²y-y²)

11. Wyznaczyć ekstremum warunkowe

1. funkcji f(x,y)=xy przy warunku x²+y²-8=0,

2. funkcji f(x,y,z)=x+ y+2z przy warunku x²+ y²+z²=1,

3. funkcji f(x,y)=xy przy warunku x+y-1=0,

4. 
   przy warunku
   ,

5. funkcji f(x,y,z)=xyz przy warunkach x+y+z=0 i x²+ y²+z²-1=0.

Całki wielokrotne

1. Obliczyć całki

a)
gdzie D={(x,y)∈R²: 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1}

b)
gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A(0,0), B(1,1), C(-1,1)

c)
, gdzie D={(x,y)∈R²: x²+y²≤r² }

d)
, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami x²+y²=z² , z=1 e)
, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y²=4+x , x=5

f)
, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami
y=h>0

g)
, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami z=αy² z², z=βy² , z=γx, z=δy , z=h (0<α<β, 0<γ<δ , h>0)

2. Oblicz pola figur ograniczonych krzywymi

1. x²+y²=2x , x²+y²=4x, y=x, y=0

2. xy=p, xy=q, y=ax, y=bx (0<a<b, 0<p<q , x>0 , y>0)

3. x+y=p, x+y=q, y=ax, y=bx (0<a<b, 0<p<q , x>0 , y>0)

3. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

a)
, 0≤x≤a (p>0, q>0 )

2. z²= x²+y², y=x², y=1, z=0

3. x²+y²=2ax, x²+y²=z²

4. 2z=x²+y² , z²= x²+y²

5. z=2x²+y²+z², x+y=1, x=0, y=0, z=0

4. Oblicz pole płata powierzchniowego

1. wyciętego walcem x²+y²=a² ze sfery x²+y²+z²=r² 0<a<r

2. wyciętego walcem x²+y²=Rx ze sfery x²+y²+z²=R²

3. wyciętego walcem z² =2py ze stożka z²= x²+y²

5. Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane

1. 
   , gdzie K jest odcinkiem od punktu A(0,0) do B(π,π)

2. 
   , gdzie K jest półokręgiem
   , t∈[0, π]

3. 
   , gdzie K jest okręgiem o równaniu (x-1)²+(y-1)²=1

4. 
   , gdzie K jest łamaną o wierzchołkach A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(4,4,4)

5. 
   , gdzie K jest dolną połową elipsy
   skierowaną dodatnio

6. Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane

1. 
   , gdzie K jest łukiem paraboli y²=4x od punktu A(0,0) do punktu B(1,2)

2. 
   , gdzie K jest odcinkiem o końcach A(a,a) do punktu B(b,b) , b>a

3. 
   , gdzie K jest łukiem elipsy
   leżącym w I ćwiartce

7. Obliczyć masę krzywej

1. 
   , t∈[0,1], a>0 , o gęstości
   

2. y=lnx x₁ ≤ x ≤ x₂ , jeżeli gęstość krzywej w każdym punkcie jest równa kwadratowi odciętej tego punktu

8. Dana jest siła odwrotnie proporcjonalna do odległości punktu jej działania od płaszczyzny OXY i skierowana do początku układu współrzędnych. Obliczyć pracę tej siły przy przemieszczaniu punktu materialnego o masie m wzdłuż odcinka prostej od punktu A(a,b,c) do punktu B(2a,2b,2c)

9. Sprawdzić twierdzenie Greena dla całki

1. 
   , gdzie K jest brzegiem figury ograniczonej krzywymi y=x² i y=4

2. 
   , gdzie K jest brzegiem obszaru D:
   

10. Stosując całki krzywoliniowe obliczyć

1. pole trójkąta ograniczonego prostymi y=x, y=5x, y=1

2. pole obszaru ograniczonego osią OX oraz y=sin x , y=cos x w I ćwiartce

Równania różniczkowe

1. Rozwiązać równania (o zmiennych rozdzielonych)

a) (1+e^x)yy'=e^x b) (1+y²)dx+(1+x²)dy=0 c) (1+y²)dx+xydy=0 d) (1+y²)dx=xdy

e)
f)
g) e^-y(1-y')=1

2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego:

a)
b)
c)

3. Rozwiązać równania

1. y'=cos (x-y) b)
   c)xy'=y(1+lny -lnx) d)
   e) y'+y+e^xy⁴=0 f)
   g) (3x²+2xy³)dx+(3x²y²+5y⁴)dy=0 h) (2x+2y²)dx+(cos y+4xy)dy =0

4. Znaleźć krzywą mającą tę własność, że odcinek stycznej w dowolnym jej punkcie o końcach w punktach : styczności i przecięcia z osią Oy ma środek na osi Ox.

5. Rozwiązać równania liniowe pierwszego rzędu:

a)
b)
c)
d)

e)
f)
g)

6. Znaleźć krzywe, dla których rzędna punktu przecięcia dowolnej stycznej z osią Oy jest o dwie jednostki mniejsza od odciętej punktu styczności.

7. Rozwiązać równania

a) y '-4y-5y=0 b) y ”+2y=0 c) y ”-2y ^`+y=0 d) y^'''= y e) y⁽⁴⁾-16y=0 f) y⁽⁴⁾ -2y^'''+y^'' = 0

g) y ”-5y^'=e^3x h) y^''-3y'+2y=2x i)
j) y ”+y=x+sin2x

k) y ”+2y^'+2x=cosx l) y ”- 4y=x+ e^3x m) y ”- 8y^'+16y=xe^2x

8. Rozwiązać układy równań różniczkowych

a)
b)
c)
d)
,

e)
f)

g)
h)

---