ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

1. Sprawdzić metodą zero-jedynkową, że następujące wyrażenia są tautologiami:

1. 
   (prawo przechodniości implikacji);

2. 
   (prawo kontrapozycji);

3. 
   (I prawo de Morgana);

4. 
   (II prawo de Morgana);

5. 
   ;

6. 
   (prawa rozdzielności).

2. Czy może się zdarzyć, że:

1. zdanie
   jest prawdziwe, natomiast zdanie
   jest fałszywe;

2. zdanie
   jest prawdziwe, natomiast zdanie
   jest fałszywe;

3. zdanie
   jest prawdziwe, natomiast zdanie
   jest fałszywe?

3. Czy zdanie
   jest warunkiem koniecznym/dostatecznym zdania
   ? Czy zdanie
   jest warunkiem koniecznym/dostatecznym zdania
   ?

1. 
   proste
   i
   nie przecinają się;
   proste
   i
   są równoległe;

2. 
   kąt
   jest kątem ostrym;
   
   ;

3. 
   zbiór
   jest skończony;
   zbiór
   jest niepusty;

4. 
   liczba
   jest parzysta;
   liczba
   jest podzielna przez 4;

5. 
   
   ;
   
   .

4. Zapisać za pomocą kwantyfikatorów i funkcji zdaniowych:

1. dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna większa od niej;

2. dla dowolnie ustalonej liczby rzeczywistej istnieje liczba rzeczywista mniejsza od niej o jeden;

3. równanie
   ma rozwiązanie;

4. równanie
   nie ma rozwiązania;

5. 
   jest liczbą pierwszą;

6. 
   jest wspólną wielokrotnością liczb
   i
   ;

7. 
   jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb
   i
   ;

8. 
   i
   mają te same dzielniki;

9. 
   nie jest kwadratem liczby naturalnej;

10. 
    jest funkcją malejącą;

11. 
    nie jest funkcją stałą;

12. 
    nie jest liczbą pierwszą;

13. 
    przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 lub 2;

14. każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 2 daje resztę 0 lub 1.

5. Napisać zaprzeczenia zdań:

1. 
   ; b)
   ;

c)

oraz zdań z poprzedniego zadania.

6. Pokazać, że dla dowolnych liczb
   :

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   dla
   ; e)
   ; f)
   .

7. Rozwiązać nierówności:

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ; e)
   ; f)
   .

8. Znaleźć
   , jeżeli:

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   .

9. Niech
   będą dowolnymi zbiorami. Pokazać, że:

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ; e)
   ; f)
   .

10. Która z następujących inkluzji jest prawdziwa?

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ; e)
   ; f)
   .

11. Niech
    {
    jest nieskończonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych},
    {
    jest skończonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych},
    {
    }. Sprawdzić czy:

1. 
   ; b)
   ; c)
   ; d)
   ;

5. 
   ; f)
   ; g)
   ; h)
   ;

9. 
   ; j)
   ;

11. 
    ; l)
    .

12. Sprawdzić czy funkcja
    jest różnowartościowa i „na”. Jeśli istnieje
    , wyznaczyć ją:

1. 
   ,
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   ;

4. 
   ,
   ;

5. 
   ,
   .

---