Odpowiedzi do pytań z egzaminu ustnego ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości.

Pytanie 1:

1. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami i tylko nimi są wszystkie elementy ze zbioru A i wszystkie ze zbioru B.

A = {1,2,3},  B = {3,4}  A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

1. Przekrojem zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są elementy należące jednocześnie do zbioru A oraz do zbioru B.

A = {1,2,3},  B = {3,4},  A ∩ B = {3}

1. Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór składający sie z tych wszystkich elementów A, które nie należą do zbioru B.

A = {1,2,3},  B = {3,4},  A  ∖ B = {1, 2}

1. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór do którego należą elementy, ze zbioru A i nie należące do zbioru B oraz elementy ze zbioru B nie należące do zbioru A.

A = {1,2,3},  B = {3,4},  A △ B = {1, 2, 4}

1. Zbiorem potęgowym zbioru A nazywamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A.

A = {1,2},  2^A = {⌀,{1},  {2}, {1,2}}

1. Parą uporządkowaną elementów a i b nazywamy zbiór {a,{a,b}}, a-poprzednik, b-następnik

(1,2) − punkt w ukladzie wspolrzednych

1. Funkcją f ze zbioru A w zbiór B nazywamy podzbiór f zawierający sie w AxB o tej własności, że nie należą do niego pary uporządkowane o tym samym poprzedniku i różnych następnikach.

y = |x|

1. Iniekcją nazywamy funkcję , w której nie ma dwóch takich liczb dla których wartość funkcji jest taka sama.

y = x

1. Surjekcją nazywamy funkcję, w której przyjmowane są wszystkie wartości z przeciwdziedziny.

y = x

1. Bijekcją nazywamy funkcję, która jest zarówno iniekcją jak i surjekcją.

y = x

1. Obrazem (Zbiorem Wartości) zbioru A (ϵX) przez funkcję f nazywamy zbiór:

$$f(A) = \{ y\epsilon Y:\ \bigvee_{x \in A}^{}{f(x) \in Y\}}$$

f(x) = 2x; A = (2; 3)∖nf(A) = (4; 6)

1. Przeciwobrazem zbioru A (ϵY) przez funkcję f nazywamy zbiór:

$${f^{- 1}\left( A \right) = \left\{ x\epsilon X:\ \ f\left( x \right)\text{ϵA} \right\}\backslash n}{f\left( x \right) = 2x;A = \left( 2;3 \right)\backslash n}{f^{- 1}\left( A \right) = (1;\ \frac{3}{2})}$$

Relacją nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego, gdzie (x,y)ϵR

1. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:

$${\bigwedge_{\text{xϵX}}^{}\text{xRx}\backslash n}{\text{Rc}X^{2}\ \ \ \ \ \ wtedy:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xRy\ \Longleftrightarrow x \leq y}$$

$${\bigwedge_{\text{xϵX}}^{}{\sim xRx}\backslash n}{xRy\ \Longleftrightarrow x < y}$$

1. Relację nazywamy symetryczną, gdy:

$$\bigwedge_{x,y\epsilon X}^{}{(x}Ry\ \Longrightarrow yRx)$$

$$\bigwedge_{x,y\epsilon X}^{}{(xRy \Rightarrow \sim yRx)}$$

$$\bigwedge_{x,y\epsilon X}^{}{(xRy\ \land yRx \Rightarrow x = y)}$$

$$\bigwedge_{x,y,z\epsilon X}^{}{(xRy\ \land yRz\ \Rightarrow xRz)}$$

1. Relację nazywamy spójną, gdy:

$$\bigwedge_{x,y\epsilon X}^{}{(xRy\ \vee yRx\ \vee x = y)}$$

1. Relacją równoważności nazywamy relację, która jest: zwrotna, symetryczna i przechodnia.

2. Relacją porządkującą nazywamy relację, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

(ℝ, ≤)

(ℚ,   ≤ )

(ℝ∪(+∞,−∞),   ≤ )

1. Porządek liniowy „≼” w zbiorze X nazywamy dobrym, jeśli w każdym niepustym podzbiorze A ⊂ X istnieje element najmniejszy.

(ℕ, ≤)

X=ℝ;                  x + 3 < 10

5 > 10

⇒,   ∧ ,∨

⊢    α ⇒ ∼α

1. Prawo rachunku zdań = tautologia. (przykład jw.)

$$regula\ odrywania:\ \frac{\alpha,\alpha \Rightarrow \beta}{\beta}$$

1. Kwantyfikatorem ogólnym nazywamy wyrażenie "dla każdego" i zastępujemy symbolem: ∀

∀xϵX  : f(x)

1. Kwantyfikatorem szczegółowym nazywamy wyrażenie "istnieje" i zastępujemy symbolem: ∃

∃xϵX  : f(x)

Pytanie 2:

1. t

2. t

3. t

4. t

5. t

6. t

7. t

8. t

9. t

10. n

11. t

12. n

13. n

14. t

15. t

16. n

17. t

18. n

19. t

20. t

21. t

22. t

23. n bo w 25 jest niexD

24. t, bo a jest zmienną wolną, więc jak za a podstawimy x to wszystko działa

25. n,  Jak działa dla jednego elementu a to wcale nie znaczy, że musi też dla wszystkich

26. tak, bo 27 i 28

27. tak, bo jak istnieje taki x z X to dla pewnego a, mianowicie dla a=x zachodzi

28. tak bo jeżeli dla pewnego a zachodzi to istnieje taki x że zachodzi

29. n, bo w 30 jest nie

30. n, a już w tym momencie jest zmienną związaną, więc nie możemy jej zmieniać i dalej tak samo jak w 25

31. t, bo jak jest prawdą dla wszystkich elementów z danego zbioru to tym bardziej dla jednego.

32. n, to samo co 29

33. t, to samo co 31

34. n, to samo co 30

Pytanie 3:

1. ℵ₀ (jak ten zbiór ustawimy w porządku leksykograficznym to jesteśmy w stanie ponumerować sobie wyrazy tego ciągu- wyszła bijekcja)

2. C?

3. C?

4. C?

5. C?

6. C?

7. C?

8. Tak. pokazać ładnie zwrotność, antysymetryczność, przechodniość

9. Chyba nie.

10. Tak, jest relacją porządkującą.

$$\bigcap_{I\epsilon\{ A,B,C\}}^{}I = \varnothing$$

1. :

K ⊂ A ⇒ [K⊂B ∨(K∩C=⌀)]

1. :

(K ⊂ A  ∧ K ≠ ⌀)⇒[KB ⇒K⊂C]

1. :

$$\bigwedge_{\text{xϵA}}^{}{\left( \text{xϵB}\ \land x \notin C \right) \vee (x\epsilon C\ \land x \notin B)}$$

1. .

1. Tak, nie jest surjekcją. Niech $g\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 2x + 1\ dla \geq 0 \\ - 2x\ dla\ x < 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ wtedy fog jest iniekcją. Powinno wyjść.

2. Twierdzenie Cantora:

Dla dowolnego zbioru X : X ≁ 2^X

Dow: Pokażemy, że nie istnieje bijekcja X → 2^X, a dokładniej: każda funkcja f : X → 2^Xnie jest "na".

Jeśli X = ⌀ to jedyna f : X → 2^Xjest funkcją pustą. Wówczas ⌀ = ℛ(f)≠2^X

Załóżmy teraz że X ≠ ⌀ i mamy daną funkcję f : X → 2^X. Wiemy, że 2^X ∼ {0, 1}^X, tj. g : 2^X → {0, 1}^Xjest bijekcją. gof : X →  {0, 1}^X.

Niech ∀xϵX   h(x) = gof(x)(x) + 1 Wówczas hϵ{0, 1}^X. Co więcej ∀xϵX h ≠ gof(x), czyli h ∉ ℛ(gof). Zatem g⁻¹(h)∉ℛ(f)

/Metoda przekątniowa/

1. (1) Niech R będzie relacją równoważności na X. Wówczas X/R jest partycją X.

(2) Niech ℘ będzie partycją X. Wówczas relacja R dana wzorem: xRy ⇔  ∃x_τ xϵX_τ i yϵX_τ jest relacją równoważności.

DOWÓD:
(...)

1. Hipoteza Continuum:
   po lewej pierwsza nieprzeliczalna liczba kardynalna

2. Zbiór Cantora: dzielę na 3 i wyrzucam środek i tak w nieskończoność ;) Moc wynosi: Continuum

3. Symplifikacja:

$$\frac{\alpha}{\beta \Rightarrow \alpha}$$

Zadanie 4:

1. m=(1,1)
   M=(4,0)

2. j.w

3. m=0,2
   M=2,2

4. j.w

5. f_k(n)=n+k dla k należących do Naturalnych

6. zbiór funkcji przechodzących przez pewien dowolny punkt.