Wykład XIII

Metody rozwiązywania metodami analitycznymi równań hydrodynamiki wód podziemnych

VIII.4.1. Funkcja potencjału zespolonego

Rozważania przedstawione w tym podrozdziale oparte są na wynikach prac badawczych Kocziny Połubarinowej [....] oraz teorii funkcji analitycznych omówionej w monografii T. Trajdos-Wróbel [.....]

Wprowadźmy do naszych rozważań dowolną funkcję analityczną
. Każdą funkcję analityczną można przedstawić w postaci kombinacji liniowej dwóch funkcji
i
zmiennych rzeczywistych w postaci:

Wykażemy teraz, że funkcje
i
spełniają równania wprowadzone w podrozdziale (VIII.1.1.) i (VIII.1.2.)

Na wstępie rozważmy własności funkcji analitycznej
. W tym celu przypomnijmy, że zmienną zespoloną z wyrażamy wzorem:

gdzie

Pierwsze i drugie pochodne zmiennej zespolonej po
są równe:

Różniczka zupełna funkcji z obliczamy ze wzoru:

stąd:

Obliczmy następnie pierwsze pochodne funkcji
po
. Dostaniemy:

skąd dostajemy, że

a następnie

z czego wynika, że

Powyższe zależności pozwalają zapisać:

Wiedząc, że :

i

oraz, wstawiając związki (11.47 i 11.48) do równania (11.46) dostajemy:

Równanie powyższe jest spełnione, gdy część rzeczywista i urojona jest równa zero. Otrzymujemy stąd związki:

i

Związki (11.49) są związkami Cauchy - Reimanna [ ]. Jak wiemy z geometrii analitycznej funkcje
są wzajemnie ortogonalne i spełniają warunek prostopadłości krzywych płaskich:

Obliczmy następnie drugie pochodne funkcji
po
.

Sumując stronami powyższe związki dostajemy:

Ponieważ

dostaniemy:

Biorąc pod uwagę równania (11.51) otrzymujemy nastepujące równania:

i

Możemy więc stwierdzić, że funkcja
i
spełniają równania (11.48) i związki (11.51) są więc zgodne z rozważaniami przedstawionymi w podrozdziale (VIII.1.1.) i (VIII.1.2.) funkcjami prądu Ψ i potencjału prędkości Φ.

Funkcję Ω będziemy nazywali dalej funkcją potencjału zespolonego i będziemy ją wyrażali przy pomocy funkcji Φ i Ψ w postaci:

Spróbujemy następnie wyznaczyć prędkość filtracji w dowolnym punkcie obszaru filtracji przy pomocy funkcji potencjału zespolonego. Ze wzorów (11.........) wiemy, że:

;

Obliczymy pochodną funkcji Ω po zmiennej zespolonej z:

Różniczka zupełna funkcji Ω(z) wyraża się wzorem:

Wyrażając funkcję Ω(z) w postaci (11.53) dostajemy:

Korzystając następnie ze związków (11.53) możemy zapisać

stąd

Rys. 8.7. Schemat do wizualizacji zespolonej prędkosci filtracji (rys. 17b)

Funkcję w będziemy nazywali prędkością zespoloną filtracji. Znając funkcję w można określić funkcję
sprzężoną z funkcją w (rys.11.6.).

Długość wektora filtracji V można wyrazić wzorem:

Znając funkcję potencjału zespolonego można więc określić funkcją prędkości zespolonej filtracji.

VIII.4.2. Sposób rozwiązywania

Określamy na brzegach obszaru filtracji warunki brzegowe. Następnie poszukujemy takiej funkcji analitycznej która spełnia warunki brzegowe zadania. Jeżeli istnieje trudność w określeniu bezpośrednio funkcji potencjału zespolonego, możemy poszukiwać funkcji prędkości zespolonej, spełniającej warunki brzegowe zadania, a następnie określić poprzez całkowanie funkcję potencjału zespolonego. Następnie należy rozdzielić funkcję
na część rzeczywistą i urojoną uzyskując tą drogą funkcje Φ i Ψ. Pozwala to na wyznaczenie linii Φ = const i Ψ = const , tworzących w obszarze filtracji siatkę hydrodynamiczną przepływu. Korzystając z własności funkcji prądu Ψ możemy określić wydatek pomiędzy dowolnie wybranymi z obszaru filtracji linii prądu. Sposób rozwiązania zobrazujemy na przykładach konkretnych zagadnień brzegowych. Przedstawiona metoda jest łatwym sposobem wykorzystania odwzorowań konforemnych. Dla bliższego wyjaśnienia czym są rozwiązania oparte na odwzorowaniach konforemnych weźmy pod rozwagę funkcję:

11.57

Rodziny krzywych
wykreślone na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z=x+iy

Przecinają się jak to wynika z poprzednich rozważań pod kątem prostym.

Rys. 11.7 Idea odwzorowań konforemnych (nowy rys......)

Jeśli każdej wartości zmiennej zespolonej z przyporządkujemy jedną wartość funkcji
:

to możemy stwierdzić ,że
jest funkcją zmiennej zespolonej z, co można zapisać w postaci wzoru (11.57). Można więć stwierdzić, że funkcja ta przyporządkowuje punktom płaszczyzny z = x+iy punkty płaszczyzny
(rys. 11.7). możemy stwierdzić więc, ze funkcja f(z) odwzorowuje płaszczyznę zmiennej z na płaszczyznę zmiennej
.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny zmiennej zespolonej z na płaszcyźnie
proste
przecinają się pod kątem prostym. Wynika stąd bezpośrednio, że odwzorowanie f(z) zachowuje kąty. A właśnie takie odwzorowanie, które zachowuje kąty nazywamy odwzorowaniem konforemnym.

Rys. 11.8 Siatka hydrodynamiczna przepływu na płaszczyźnie z=x+iy („a”) i na płaszczyźnie
(„b”) (nowy rys.)

Krzywe
(rys. 11.8) na płaszczyźnie z=x+iy będziemy nazywać poziomicami odwzorowania konforemnego.

W przypadku zagadnień bardziej złozonych płaskiego przepływu teorii filtracji wód podziemnych mamy do czynienia z sytuacją gdy znany jest obszar filtracji oraz wartości funkcji
na jego brzegu, natomiat nie znamy funkcji realizującej odwzorowania konforemne wewnątrz obszaru. Tego typu problem pozwala nam rozwiązać teoria przekształceń konforemnych oparta na wzorze Christoffela - Schwarza. Wzór ten pozwala wg. Kocziny Połubarinowej [...] okreslić funkcje realizujace przekształcenie konforemne na obszary wielokątne. Jeżeli przyjmiemy, że na płaszczyźnie z=x+iy jest okreslony wielokąt o wierzchołkach M_i (M₁,M₂,.....M_n) (rys. 11.9). Kąty odpowiadające poszczególnym wierzchołkom tego wielokąta oznaczmy
, a przez a_i będziemy oznaczać wspólrzędne rzeczywiste tych wierzchołków. Jeżeli przez t okreslimy zmienną całkowania to wzór Christoffela - Schwarza realizujący odwzorowanie konforemne można przedstawić w postaci:

11.58

Rys. 11.9 Schemat do wzoru Christoffela - Schwarza (nowy rys............)

Kąty
we wzorze 11.58 wyrazamy w radianach. Wielkości stałych odpowiadajace zmiennj rzeczywistej t - a_i są stałymi rzeczywistymi. Wartość tych stałych po uwzględnieniu stałej całkowania N odpowiadają długości boków wielokąta o wierzchołkach A_i. Stałe M i N są stałymi wyrazonymi przez liczby zespolone. Stosując wzór 11.58 zgodnie z pracą L.Rembezy [...] należy mieć na uwadze kilka jej właściwości:

1. Człon we wzorze Christoffela - Schwarza, który zawiera stałą
   , jest w nim pomijany

2. Trzy stałe a_i mogą mieć wartość dowolną. Wynika to z twierdzenia o jednoznaczności odwzorowań konforemnych. Zazwyczaj przyjmuje się wartość tych stałych równą 0,1,
   .

Praktyczne wykorzystanie wzoru Christoffela - Schwarza znaleźć można w pracach [................] oraz w podrozdziale XI.6.

XI.6. Wykorzystanie funkcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązywania zagadnień dwuwymiarowych przepływu filtracyjnego.

XI.6.1 Szczelina drenażowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Limasset'a)

Półprzestrzeń wypełniona ośrodkiem porowatym o współczynniku filtracji k jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rys.11.8.)

Rys. 11.8. Schemat zadania dotyczacego dopływu do szczeliny drenażowej

Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej na odcinku o długości d pracuje dren poziomy wykształcony w formie wąskiej szczeliny drenażowej.

Wskutek działania drenu w obszarze półprzestrzeni wytwarza się strefa wód gruntowych oddzielona od strefy aeracji powierzchnią swobodną.

Poszukujemy takiej funkcji Ω aby spełnione warunki brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstwy nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowych.

Na powierzchni swobodnej, gdy pomijamy ciśnienie powietrza i brak wód kapilarnych, muszą być spełnione następujące warunki brzegowe:

11.57 Φ + ky = 0

11.58 Ψ = Ψ₀

Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej musi być spełniony warunek:

11.59 Ψ = 0

Wzdłuż granicy przepuszczalnej warunek brzegowy ma postać:

11.60 Φ = 0

Wybieramy koleje funkcje z = f (Ω) poczynając od liniowej. Funkcja liniowa, jak łatwo sprawdzić, nie spełnia warunków brzegowych.

Rozpatrzmy następnie funkcję z = A Ω²

Sprawdźmy czy funkcja ta może mieć powierzchnię swobodną.

Na powierzchni swobodnej muszą być spełnione warunki (11.57; 11.58).Stąd:

11.61 Φ = -ky ; Ψ = Ψ₀

gdzie Ψ₀ - stała odpowiadająca wartości funkcji prądu dla powierzchni swobodnej.

Poszukujemy funkcji y = f (x) takiej, aby spełnione były warunki (11.57.; 11.58.; 11.59.; 11.60.).

Ponieważ dla dowolnego punktu obszaru filtracji:

z = A Ω²

dla powierzchni swobodnej mamy:

Po wykonaniu prostych przekształceń dostajemy:

Stąd dostajemy:

11.62

11.63

Z równania (11.63) otrzymujemy wartość stałej A:

Podstawiając A do równania (11.62) otrzymujemy równanie linii zwierciadła spełniającej warunki brzegowe:

11.64

Krzywa określona równaniem nosi nazwę paraboli Limasset'a. Znając stałą A funkcję potencjału zespolonego można zapisać w postaci:

11.65

Podstawiając:

Mamy:

Po prostych przekształceniach dostajemy:

11.66

11.67

Sprawdzimy obecnie czy są spełnione założone warunki brzegowe. Wiemy, że wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej (ujemna półoś x) powinien być spełniony warunek
.

Wstawiamy
do wyrażeń (11.66) i (11.67).

Otrzymamy:

11.68
; y = 0

Ponieważ dla dowolnej

, równania (11.68) są równaniami ujemnej półosi x.

Wzdłuż granicy przepuszczalnej (szczeliny drenażowej) winien być spełniony warunek
.

Podstawiając
do wyrażeń (11.66) i (11.67) otrzymamy:

11.69
; y = 0

Ponieważ dla dowolnego

(11.66) i (11.67) są równaniami opisującymi dodatnią półoś x na odcinku
.

Można sprawdzić, że wzdłuż osi x są spełnione również pozostałe warunki brzegowe (11.57; 11.58; 11.59; 11.60).

Przyjęta funkcja potencjału zespolonego spełnia więc warunki brzegowe.

Aby wyznaczyć linie prądu dla
przekształcimy wyrażenia (11.66) i (11.67).

Z wyrażenia (11.67) wyznaczymy
:

(11.70)

i podstawiając do wyrażenia (11.66.) dostajemy:

(11.71)

Rys. 11.8. Linie prądu

Podstawiając pod
kolejne wartości z przedziału
otrzymamy kolejne linie prądu (rys. 11.8.). Jak to wynika ze wzoru (11.71) wszystkie linie prądu opisuje równanie parabol, których wierzchołki znajdują się na dodatniej półosi x na odcinku
(rys. 11.8.).

Równania powierzchni ekwipotencjalnych otrzymamy obliczając z równania

(11.67)
:

11.72

i podstawiając (11.72) do równania (11.66).

Dostajemy:

11.73

Siatkę hydrodynamiczną dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys.11.9.

Wiedząc (podrozdział 5.1.2.), że
dostaniemy wydatek dla całego obszaru filtracji.

Dostajemy:

11.74

Wiedząc, że powierzchnia swobodna styka się z drenem w punkcie
możemy obliczyć szerokość szczeliny drenowej d:

Rys. 11.9. Powierzchnie ekwipotencjalne

Znając współrzędne dwóch punktów powierzchni swobodnej np.

gdy

(punkt A rys.11.9.)

gdy

(punkt B rys.11.9.)

Wstawiamy je do równania powierzchni swobodnej (parabola Limasset'a). Otrzymamy tożsamości:

11.75

Odejmując je stronami po prostych przekształceniach dostajemy:

11.76

Porównując wzór (11.76) ze wzorem (........) z podrozdziału (11.4.1) widzimy, że wzór na wydatek jest identyczny jak uzyskany w oparciu o teorię Dupuit'a dla dopływu wody do rowu.

Zadanie ze szczeliną drenażową jest wykorzystywane do szeregu zagadnień praktycznych np. kreślenie zwierciadła wód swobodnych przy przepływie przez grodzę ziemną. Szerzej omawiany materiał będzie w rozdziale (12.....) niniejszej pracy

XI.6.2. Szczelina drenażowa w warstwie przepuszczalnej.

Rys. 11.10. Schemat zadania szczeliny drenażowej w warstwie przepuszczalnej.

Przypadek ten różni się od poprzedniego tym, że zamiast warstwy nieprzepuszczalnej, mamy ”przyłączoną” do obszaru przepływu półprzestrzeń przepuszczalną (rys.11.10.). Nie będziemy szczegółowo analizowali tego przypadku, gdyż sposób postępowania jest identyczny jak w podrozdziale (XI.6.1.) i podane będą gotowe rozwiązania.

Rys. 11.11. Siatka hydrodynamiczna przepływu dla przypadku szczelny drenażowej w warstwie przepuszczalnej.

Wszystkie linie prądu są współogniskowymi parabolami o równaniach podanych w podrozdziale (XI.6.1.)

Dla
należy jednak przyjmować wartości od
do
.

Siatkę hydrodynamiczną przepływu dla tego przypadku przedstawiono na rys. 11.11.

Zajmiemy się za to tutaj konstrukcją izobar (linii jednakowego ciśnienia), izotach (linii jednakowej prędkości), izoklin (linii wzdłuż których wektor prędkości posiada jednakowy kierunek).

Konstrukcja Izobar

W celu określenia rodziny krzywych izobarycznych, przypominamy zależności między potencjałem prędkości, a ciśnieniem:

Zależność tę można napisać w postaci:

Stąd widać, że mając określoną siatkę hydrodynamiczną przepływu można znaleźć izobary metodą graficznego dodawania (rys. 11.12.).

Rys. 11.12. Siatka izobar uzyskana metodą graficznego dodawania

Przyjmujemy dla przykładu, że w obszarze filtracji mamy określone linie jednakowej wysokości hydraulicznej

Dla H = 1, +2, +3, +4 (rys.11.12.).

Wykreślamy linię poziomą o równaniach:

y = 1, y = 2, y = 3,...........y = N

W przecięciu linii y = 1 z linią H = +1 dostajemy
, z linią H = +2
itd. Określamy w ten sposób
we wszystkich punktach tak uzyskanej krzywoliniowej siatki. Łączymy punkty w których
ma taką samą wartość i dostajemy izobary dla
=1,
=2 itd.

Dla rozpatrywanego zagadnienia nie trudno znaleźć równanie izobar. W tym celu wystarczy wyłączyć
z równania (11.67.) po podstawieniu do (11.66.) rozwiązać to równanie względem
.

Otrzymamy równanie czwartego stopnia:

Przyrównując
do stałej C otrzymamy dla izobar równanie czwartego stopnia:

11.77

Rodzina izotach i izoklin

Określenie siatki izotach i izoklin jest ważne wtedy, gdy istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przykład pod zaporami wodnymi. Izotachy i izokliny znakomicie ułatwiają nam analizę „stateczności filtracyjnej” gruntu w obszarze budowli wodnych.

Zlogarytmujmy prędkość zespoloną w filtracji i rozdzielimy część rzeczywistą i urojoną:

11.78

Stąd dostajemy:

gdzie: v - wartość bezwzględna wektora prędkości

- kąt między wektorem a osią odciętych.

Ponieważ część rzeczywista i urojona funkcji lnw są funkcjami harmonicznymi, to linie lnv=const i ϑ=const tworzą rodziny krzywych ortogonalnych.

W rozpatrywanym przez nas przypadku szczeliny drenażowej w warstwie przepuszczalnej, możemy więc uzyskać równanie izotach i izoklin w postaci zamkniętej.

Istotnie na podstawie (11.65) mamy:

11.79

Stąd:

11.80

Logarytm prędkości zespolonej równy jest:

11.81.

Rys.11.13 Rodzina linii izotach i izoklin.

Widać stąd, że izotachy stanowią koncentryczne koła o promieniu r = const i środku w ognisku parabol, natomiast izokliny są to promienie, wychodzące z ogniska (rys. 11.13.)

Wielkość prędkości równa jest współczynnikowi filtracji k wzdłuż okręgu, który jest styczny do swobodnej powierzchni ( w miejscu styku tej powierzchni ze szczelina drenażową).

XI.6.3. Płaski fundament zapory wodnej na warstwie o nieskończonej miąższości.

Na przepuszczalnej warstwie o współczynniku filtracji k ograniczonej płaszczyzna AD spoczywa fundament zapory wodnej na odcinku BC.

Rys. 11.14. Schemat zagadnienia przepływu pod fundamentem zapory wodnej.

Po lewej stronie (patrz rys. 11.14.) zapory znajduje się zbiornik wody, w którym poziom wody ponad terenem wynosi H₁. Po prawej stronie mamy koryto rzeki, przy czym poziom wody ponad teren wynosi H₂.

Wzdłuż półprostych BA i CD mamy do czynienia z brzegiem przepuszczalnym, więc składowa styczna prędkości do tych brzegów jest równa zero.

11.81 v_x=0

11.82 v_y=0

Dla
lub
obydwie składowe prędkości
winny dążyć do zera, więc prędkość zespolona w:

w = v_x-iv_y

powinna również dążyć do zera:

11.84

Warunki brzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci przy pomocy składowych prędkości (11.82; 11.83; 11.84) więc będziemy poszukiwali funkcji potencjału zespolonego w sposób pośredni, poprzez określenie najpierw funkcji prędkości zespolonej w.

Przyjmując układ współrzędnych jak na rys. 11.14., widzimy zgodnie z (5.82 i 5.83), że:

- dla
,w ma wartość rzeczywistą

- dla
,w ma wartość urojoną

11.85

Posiada ona wartości rzeczywiste dla z=x<b i wartości urojone dla z=x>b .

Funkcja ta spełnia więc warunki brzegowe dla dodatniej półosi x. Nie spełnia ich natomiast dla półosi ujemnej x. Funkcja

11.86

jest rzeczywista dla z=x>-b i urojona dla z=x<-b , więc spełnia warunki dla ujemnej półosi x. Łatwo sprawdzić, że funkcja powstała z iloczynu funkcji (11.85) i (11.86):

11.87

przyjmując wartości rzeczywiste dla
i wartości urojone dla
, spełnia więc dwa pierwsze warunki brzegowe (11.82) i (11.83), nie spełnia natomiast warunku trzeciego (11.84).

Prędkość zespolona „w” powinna być równa zero dla z
. Powyższy warunek i warunki (11.82) i (11.83) spełnia funkcja:

11.88

gdzie: M- to wielkość stała

Funkcja (11.88) nie jest jedyną spełniającą warunki (11.82;11.83; 11.84). Gdy przemnożymy funkcję (11.88) przez funkcję wymierną z rzeczywistymi współczynnikami, której stopień licznika nie przewyższa stopnia mianownika w postaci:

gdzie: n
m

oraz n i m - liczby naturalne rzeczywiste

otrzymamy funkcję prędkości zespolonej w postaci:

11.89

Funkcja ta spełnia warunki brzegowe (11.82; 11.83; 11.84). Posiada ona jednak dodatkowe własności w punktach x=c, y=0 i x=a, y=0.

Przyjmijmy np., że a=b. Przechodząc do granicy w punktach x=
, y=0 z lewej i prawej strony wektor prędkości powinien obrócić się o kąt
. W rozpatrywanym przypadku obraca się o kąt
. Zakładając
otrzymamy w punkcie x = a , y = 0 dodatkowy punkt osobliwy pod fundamentem zapory wodnej.

Można wykazać, że przy n=0 i m=1 jest to wtedy punktowe źródło wody lub dren. Funkcja ta jest wykorzystaniem w zadaniach z rura drenażową, usytuowaną pod fundamentem budowli wodnej. Funkcja (11.89) stanowi podstawę do budowy rozwiązań zagadnień brzegowych bardziej złożonych od rozpatrywanego.

Wyznaczymy obecnie funkcje potencjału zespolonego
. Korzystając z zależności:

i ze wzoru (11.88) dostajemy:

stąd mamy:

11.90

By określić funkcję potencjału zespolonego
, należy wyznaczyć stałe M i N. Wiemy, że funkcja potencjału prędkości równa się:

gdzie: C - dowolna stała.

Przyjmiemy stałą C w taki sposób, aby wzdłuż poziomu wody w rzece (wzdłuż brzegu CD) funkcja potencjału
była równa zero. Założywszy przy tym, że ciśnienie atmosferyczne p_a=0. Obliczamy:

0=-kH₂+C

Stąd:

C=kH₂

Ostatecznie funkcja
wyraża się wzorem:

11.91

Obliczamy
wzdłuż brzegu AB.

Określając różnicę H₁-H₂ przez H dostajemy:

11.92

Zgodnie z (11.90), funkcja prądu wzdłuż fundamentu BC równa się stałej C₁, przyjmując dowolna stałą C₁ równa zero mamy:

11.93

Na podstawie przeprowadzonych wyżej rozważań, wiemy że w punkcie B o współrzędnych

x = -b , y = 0

11.94
i

natomiast w punkcie C o współrzędnych x = b , y = 0

11.95
i

Podstawiając związki (11.94; 11.95)do wzoru (11.90) dostajemy układ równań:

( 11.96

Po rozwiązaniu układu dostajemy:

11.97

Podstawiając stałe M i N do wzoru (11.90) otrzymujemy:

11.98

lub inaczej:

11.99

Stąd:

11.100

Wstawiając
oraz
, zależność (11.100) ma postać:

Oznaczając:

oraz

mamy:

11.101

Wiedząc, że:

równanie można zapisać w postaci:

Stąd dostajemy:

11.102

11.103

Obliczając z równania (11.103)
:

a z równania (11.102) cos
:

i korzystając ze znanego z trygonometrii prostego związku:

dostajemy równanie:

11.104

Dla kolejnych
równanie (11.104) opisuje linie prądu w ośrodku gruntowym. Są to elipsy o ogniskach w punktach
.

Wyznaczając następnie z równań (11.102; 11.103) kolejno
i
i korzystając ze związku:

dostajemy równanie:

11.105

Rys. 11.15 Izolinie reprezentujące powierzchnie ekwipotencjalne

Dla kolejnych
= const , równanie opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nimi hiperbole. Układ linii prądu opisanych równaniami (11.104) i izolinii reprezentujących powierzchnie ekwipotencjalne opisanych równaniami (11.105) tworzą siatkę hydrodynamiczną przepływu, która dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys. 11.15..

Określimy następnie składowe prędkości
w obszarze filtracji. Prędkość zespolona wyraża się wzorem:

11.106

więc:

11.107

Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczywistą i urojoną, a następnie przenosząc wszystkie wyrażenia na jedną stronę, dostaniemy równanie, z którego możemy bezpośrednio wyznaczyć składowe v_x i v_y prędkości filtracji. Dostajemy:

11.108

11.109

przy czym znak - bierzemy dla x>0, a znak + bierzemy dla x<0

Równania izotach otrzymamy obliczając:

11.110

a równanie izoklin:

11.111

Interesujący jest rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD. Wzory na składowe v_x i v_y możemy uzyskać bezpośrednio ze wzoru 11.106 , podstawiając y=0.

Wzdłuż fundamentu prędkość filtracji równa jest składowej poziomej prędkości i wynosi:

11.112

Wzdłuż powierzchni przepuszczalnych prędkość filtracji równa jest składowej pionowej v_y

i wynosi:

11.113

przy czym znak - odnosi się do górnej wody,

a znak + do dolnej wody.

Rys. 11.16. Rozkład prędkości przepływu wzdłuż brzegu AD

Rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD przedstawiono na rysunku 11.16. Jak widać z rys. 11.16. w pobliżu punktów
wartość prędkości dąży do
. Wynik ten jest rezultatem stosowania w całym obszarze filtracji liniowego prawa przepływu Darcy'ego. W rzeczywistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hydraulicznego przepływu (patrz rozdział ........), prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powyżej metodologia rozwiązania problemu nie pozwala na uwzględnienie nieliniowego prawa przepływu.

Do obliczeń stateczności zapór wodnych istotny jest rozkład ciśnień pod fundamentem budowli, wywołany przepływem filtracyjnym.

Przepiszmy wzór 11.102:

Ponieważ wzdłuż fundamentu:

można napisać:

11.114

Oznaczając przez ”h” wysokość hydrauliczną w dolnym punkcie obszaru filtracji, mamy:

11.115

Podstawiając (11.114) do (11.115), dostaniemy:

Ponieważ wzdłuż fundamentu budowli piętrzącej y=0 ciśnienie p równa się:

11.116

Rozkład ciśnień wzdłuż fundamentu zapory przedstawiono na rys. 11.17.

Rys. 11.17 Rozkład ciśnień pod fundamentem budowli piętrzącej.

Dla pełnego obrazu przedstawimy sposób obliczenia wydatku przepływającej pod fundamentem zapory wody.

Obliczymy wydatek wypływający z ośrodka na odcinku od x=b do x=x₀.

Wiedząc, że wydatek Q (rozdz. VIII.) przepływający pomiędzy dwoma liniami prądu, równa się różnicy wartości funkcji prądu:

oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu, biegnącej wzdłuż fundamentu wynosi:

możemy stwierdzić, że poszukiwany wydatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrywany punkt x = x₀, czyli:

11.117

Wstawiając do (11.102.)
oraz
dostajemy:

(11.118.)

XI.6.4. Ścianka szczelna w gruncie przepuszczalnym o nieskończonej głębokości

Dla zmniejszenia prędkości wylotowych filtracji pod fundamentem budowli wodnych, konstruuje się w gruncie szereg ścianek szczelnych, często z metalowych płyt profilowych. Budowa siatki hydrodynamicznej dla przypadku siatki szczelnej jest więc istotna, w przypadku praktycznych zadań opływania fundamentu budowli ziemnych.

Sposób poszukiwania rozwiązania dla tego przypadku wynika bezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przypadku zagadnienia płaskiego opływania budowli piętrzącej.

Rys. 11.18. Opływanie ścianki szczelnej.

Gdyby w poprzednio omówionym zadaniu zamienić współrzędne x, y lub inaczej obrócić rysunek (rys. 11.14.) o 90⁰, to otrzymamy przepływ przedstawiony na rys. 11.18. Rysunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości l, opływaną przez wodę gruntową pod wpływem różnicy wysokosci hydraulicznej H.

Zespolona prędkość przepływu ma postać:

11.119

a potencjał zespolony wyraża się wzorem:

11.120

przy czym znak - przyjmuje się dla
, a znak + dla
.

Rys. 11.19. Siatka hydrodynamiczna przepływu w przypadku ścianki szczelnej.

Linię prądu stanowią połówki elips (rys 11.19.) natomiast linie ekwipotencjalne są hiperbolami.

W przypadku budowli piętrzącej w fundament której wmontowana jest ścianka szczelna, poszukujemy rozwiązania korzystając z zasady superpozycji, która jest słuszna dla liniowych zagadnień teorii filtracji. Sposób jej wykorzystania przedstawiony na przykładzie współdziałania fundamentu budowli piętrzacej, gdy w podstawie budowli założono rurę drenażową.

XI.6.5. Fundament budowli piętrzącej z rurą drenażową.

Załóżmy, że bezpośrednio pod fundamentem budowli hydrotechnicznej umieszczono rurę drenażową w kształcie półcylindrycznym (rys. 11.20).

Rys. 11.20 Schemat opływania budowli piętrzącej z rurą drenażową

Niech środek rury znajduje się w punkcie
. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy wyżej o możliwości stosowania zasady superpozycji do rozwiązań zagadnień filtracji, możemy poszukiwać funkcji prędkości zespolonej w postaci:

11.121

Obydwa człony rozwiązania (11.121) czynią zadość warunkom brzegowym (11.82; 11.83; 11.84) a jednocześnie drugi człon rozwiązań posiada własność drenu lub źródła w punkcie:
(patrz przykład rozwiązywany w podrozdziale VIII......).

Niech wydatek rury drenażowej będzie oznaczony przez
. Ponieważ rura dostaje się do rury drenarskiej tylko połową przekroju, więc wprowadzimy wydatek obliczeniowy
, który odpowiada przypadkowi gdy woda dostaje się do rury całym przekrojem.

Ponieważ prędkość wody dopływająca do drenu winna być w obydwu przypadkach identyczna, mamy:

gdzie:

r - promień rury drenarskiej.

Stąd mamy, że:

W dowolnym punkcie obszaru prędkość zespolona w wywołana działaniem drenu i różnicy poziomów wody w zbiorniku i rzece, powinna się równać:

11.122

przy czym F(z) jest funkcją holomorficzną w punkcie z = a. Obliczamy granicę funkcji (z - a) w (z) gdy w(z) wyraża się wzorem (11.121), a z dąży do a:

11.123

Następnie obliczamy tą samą granicę, gdy w(z) wyraża się wzorem 11.122

Dostajemy:

11.124

stąd znajdujemy:

Prędkość zespoloną filtracji wyraża się wzorem:

11.125

Rys. 11.21. Siatka hydrodynamiczna przepływu dla przypadku fundamentu

Na rysunku 11.21. podano siatkę hydrodynamiczną przepływu dla
.

Do chwili obecnej zbudowano szereg zagadnień brzegowych metodami analitycznymi. Do mających duże znaczenie praktyczne należy zaliczyć zadania opływu fundamentów budowli wodnych z układem drenaży i ścianek szczelnych pod podeszwą fundamentu budowli wodnej w warstwie o ograniczonej miąższości.

Część z nich przedstawiono w pracy Kociny Połubarinowej [........], inne w pracach

N.T. Mielescenki [ ].

Stosując metodę rozwiązywania przedstawioną w przykładzie rozwiązanym w podrozdziale (............), można rozwiązać dużą ilość zagadnień praktycznych.

Przedstawiane w niniejszym rozdziale przykłady mogą mieć zastosowanie praktyczne gdy mamy do czynienia z budowlami wodnymi posadowionymi w warstwie gruntu w miarę jednorodnego, o dużej miąższości. Zadanie ze szczeliną drenażową (podrozdziały (..............) i (..............)) wykorzystuje się do określenia obszaru filtracji przy przepływie wody przez grodze ziemne, przepływy filtracyjne w obszarze skarp itp. Szerzej na ten temat będziemy mówić w rozdziale 7 skryptu.

Ograniczony programem studiów zakres przedstawionych problemów nie pozwala na przedstawienia szerszego zasięgu zagadnień brzegowych i omówienia innych metod analitycznych rozwiązywania tych zagadnień.

30

20

---