34. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna, trygonometryczna, definicje, wykresy i własności.

Potęgi o wykładniku naturalnym

Potęgi o wykładniku naturalnym definiujemy rekurencyjnie :

a^1= a

a^n+1= a^n· a

Gdy a jest różne od zera, wtedy : a⁰ = 1. Symbol 0⁰ nie jest zdefiniowany - nie można określić jego wartości.

 Potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym

 Potęgi o wykładniku wymiernym

Potęgi o wykładniku niewymiernym

Potęgi o wykładniku niewymiernym nie możemy dokładnie określić. Szukamy tylko ich przybliżeń. Przykład :

Potęga 5^ jest to liczba spełniająca warunek 5^w < 5^ < 5^w', gdzie w i w' są liczbami wymiernymi takimi, że w < p < w'.

Mamy więc : 5^3,14 < 5^ < 5^3,15   lub   5^3,1415 < 5^ < 5^3,1416, skąd możemy zaobserwować pewien przedział liczbowy, do którego należy liczba 5^.

Twierdzenia o działaniach na potęgach:

Funkcja potęgowa

Funkcją potęgową o wykładniku a nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = x^a.

Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika a i jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których istnieje potęga x^a.

W zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich każda funkcja potęgowa jest określona, i każda z nich ma wartości dodatnie. Ponadto w tym zbiorze funkcja potęgowa f(x) = x^a jest :

• funkcją rosnącą dla a > 0

• funkcją malejącą dla a < 0

• funkcją stałą dla a = 0

Do wykresu każdej funkcji potęgowej należy punkt (1,1), a dla wszystkich wykładników dodatnich również punkt (0,0).

 

Twierdzenie o porównywaniu potęg

• Jeżeli m i n są liczbami dodatnimi takimi, że m < n, to dla 0 < x < 1 jest x^m > xⁿ

• Jeżeli m i n są liczbami dodatnimi takimi, że m < n, to dla x > 1 jest x^m < xⁿ

• Jeżeli m i n są liczbami dodatnimi takimi, że m =n, to x^m = xⁿ

Funkcja wykładnicza :

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem y = a^x , gdzie a > 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla a = 1 funkcja przyjmuje postać y = 1; jest więc funkcją stałą i nie uważamy jej za funkcję wykładniczą.

Każda wartość dowolnej funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią. Zbiorem wartości każdej funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa nazywana krzywą wykładniczą. Każda krzywa wykładnicza przechodzi przez punkt (0,1), jest funkcją różnowartościową, ściśle monotoniczną i ciągłą w całej dziedzinie.

Wykresy funkcji wykładniczej:

 

Logarytmy

Logarytm o podstawie a z liczby logarytmowanej b definiujemy następująco:

Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10

Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e

Prawa działań na logarytmach

Dowody:

 

 

 

Obliczanie logarytmów za pomocą tablic i kalkulatora

Aby znaleźć przybliżoną wartość danego logarytmu, musimy doprowadzić go, za pomocą twierdzenia o zamianie podstaw do logarytmu dziesiętnego lub naturalnego i otrzymane wartości szukać w tablicach, lub liczyć na kalkulatorze.

Przykład:

Funkcja logarytmiczna

Funkcję odwrotną do wykładniczej y = a^x nazywamy funkcją logarytmiczną i zapisujemy wzorem y = log_ax. Podstawa logarytmu jest liczbą dodatnią, różną od 1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich, a zbiorem wartości - zbiór liczb rzeczywistych.

Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa zwana krzywą logarytmiczną. Każda krzywa logarytmiczna przechodzi przez punkt (1,0), jest funkcją różnowartościową, ściśle monotoniczną i ciągłą w całej dziedzinie.

Wykresy funkcji logarytmicznej :

 

Funkcje trygonometryczne

Miara łukowa kąta:

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku wyciętego przez ten kąt z okręgu o środku w wierzchołku kąta do długości promienia tego okręgu. Jednostką miary łukowej jest radian - symbol "rad".

Wzory redukcyjne:

Aby zapamiętać znaki funkcji w różnych ćwiartkach, warto nauczyć się następujący wierszyk:

W pierwszej ćwiartce same plusy,

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i cotangens,

A w czwartej cosinus.

Wykresy funkcji:

Cosinus różnicy kątów:

Cosinus sumy kątów:

Sinus sumy kątów:

Sinus różnicy kątów:

Suma i różnica sinusów oraz cosinusów:

Sposób wyprowadzania wzoru na wielokrotności kąta:

Funkcje odwrotne:

Dla funkcji trygonometrycznych zredukowanych do pewnych przedziałów istnieją funkcje odwrotne:

Funkcja trygonometryczna:	Redukcja do przedziału:	Funkcja odwrotna:	Dziedzina funkcji:
y = sinx		y = arcsinx
y = cosx		y = arccosx
y = tgx		y = arctgx
y = ctgx		y = arcctgx

 

---