Funkcja homograficzna, definicje i wykres

1. Definicja:

Funkcja homograficzna to funkcja wymierna, będąca ilorazem dwóch funkcji liniowych:

2. Wyróżnikiem funkcji homograficznej nazywamy liczbę:

Δ  a⋅b - b⋅c

3. Założenia dotyczące liczb a, b, c, d.

a) a, b, c, d ∈ R

b) c ≠ 0

Jeśli c=0 to mianownik jest liczbą stałą, a więc f(x) jest wtedy funkcją liniową, a nie homograficzną.

c) Δ ≠ 0

Jeśli Δ   to licznik i mianownik zawierają tę samą funkcję liniową, zatem ich iloraz równa się 1. Otrzymujemy wówczas funkcję stałą.

d) d ≠ -c

Gdy d = c, mianownik jest zerem, a więc wyrażenie f(x) traci sens matematyczny

4. Dziedzina i zbiór wartości:

5. Postać kanoniczna:

6. Punkty przecięcia z osiami (o ile istnieją):

(gdy b=0, punkt nie należy do dziedziny)

7. Wykresem każdej funkcji homograficznej (o ile spełnia ona założenia z punktu 3.) jest hiperbola:

8. Monotoniczność:

1. Δ >   funkcja rosnąca

2. Δ    funkcja malejąca

(Δ - patrz: punkt 2)

9. Przykład:

Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest:

10. Sposób rysowania wykresów:

1. sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej (pkt. 5)

2. rysujemy wykres funkcji
   

3. rozszerzamy/zwężamy wykres z punktu b
   razy w pionie

4. rozszerzamy/zwężamy wykres z punktu c c razy w poziomie

5. przesuwamy wykres z punktu d o wektor:

(lub układ o wektor przeciwny)

Przykład:

a)

b) patrz: punkt 9

c) rozszerzamy wykres 3-krotnie w pionie

d) pozostawiamy wykres nietknięty (c = 1)

e) przesuwamy wykres o wektor:

lub układ o:

© Marcin Kordasz, IVa

---