www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW FUNKCJI
Cała zabawa z przekształcaniem
sprowadza si˛e do nast˛epuj ˛
acego pyta-
nia: w jaki sposób zmieni si˛e wzór
je ˙zeli dokonamy przekształcenia jej wykresu?
Oczywi´scie odpowied´z zale ˙zy od tego, jakie przekształcenie mamy na my´sli.
Przesuwanie wykresów
Jest prosta zale ˙zno´s´c mi˛edzy przesuni˛eciem wykresu funkcji, a zmian ˛
a jej wzoru. Zanim
jednak przejdziemy do szczegółów wyja´snijmy, ˙ze przesuni˛ecie wykresu o m jednostek wzdłu˙z
osi oznacza przesuni˛ecie wykresu o m jednostek w kierunku strzałki na osi je ˙zeli m
>
0, oraz
o
|
m
|
jednostek w przeciwnym kierunku je ˙zeli m
<
0.
Przesuni˛ecie wykresu funkcji o 2 jednostki wzdłu ˙z osi Ox i o
−
3 jednostki wzdłu ˙z
osi Oy oznacza przesuni˛ecie wykresu o 2 jednostki w prawo i o 3 w dół.
˙Zeby si˛e nie pogubi´c, osobno przedstawimy ka ˙zd ˛a z trzech mo ˙zliwych konfiguracji.
1. Przesuni˛ecie wykresu o q jednostek wzdłu˙z osi Oy.
Jest to zdecydowanie najprostsza
sytuacja: wzór funkcji y
=
f
(
x
)
po przesuni˛eciu b˛edzie miał posta´c
y
=
f
(
x
) +
q.
Mam nadziej˛e, ˙ze nie budzi to w ˛
atpliwo´sci: dodanie do wzoru funkcji liczby q
>
0 sprawia,
˙ze ka ˙zda warto´s´c funkcji jest wi˛eksza o q, czyli wykres przesuwa si˛e o q jednostek do góry.
Je ˙zeli natomiast q
<
0 to warto´sci si˛e zmniejszaj ˛
a, czyli przesuwamy w dół.
Pierwszy wykres przedstawia
y
=
x
2
+
3, a drugi parabol˛e y
=
x
2
−
3.
-2.5
+1
+2.5
x
-1
+1
+5
+10
y
-2.5
+1
+2.5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=x
2
y=x
2
y=x -3
2
y=x +3
2
Obie parabole powstaj ˛
a przez przesuni˛ecie paraboli y
=
x
2
o 3 jednostki: pierwsza
do góry, a druga w dół.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
2. Przesuni˛ecie wykresu o p jednostek wzdłu˙z osi Ox.
Tym razem wzór funkcji y
=
f
(
x
)
po przesuni˛eciu b˛edzie miał posta´c
y
=
f
(
x
−
p
)
.
Wyja´snijmy krótko sk ˛
ad wzi ˛
ał si˛e minus w nawiasie.
Zastanówmy si˛e jak narysowa´c wykres funkcji y
=
f
(
x
−
3
)
. W punkcie x
=
3 mamy
warto´s´c f
(
0
)
, w punkcie x
=
4 mamy warto´s´c f
(
4
−
3
) =
f
(
1
)
, itd.: w punkcie x zaznaczamy
warto´s´c f
(
x
−
3
)
. To oznacza, ˙ze wszystkie warto´sci funkcji f , czyli cały wykres, zostały
przesuni˛ete o 3 jednostki w prawo. Oczywi´scie my´slimy analogicznie, gdy zamiast 3 jest p.
Pierwszy wykres przedstawia parabol˛e y
= (
x
−
3
)
2
, a drugi parabol˛e y
= (
x
+
3
)
2
.
-5
-1
+3
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
-3
y=(x-3)
2
y=(x+3)
2
y=x
2
y=x
2
Obie parabole powstaj ˛
a przez przesuni˛ecie paraboli y
=
x
2
o 3 jednostki: pierwsza
do prawo, a druga w lewo.
3. Przesuni˛ecie wykresu o wektor
[
p, q
]
.
W zasadzie jest to poł ˛
aczenie dwóch poprzednich
sytuacji: przesuni˛ecie wykresu o wektor
[
p, q
]
to dokładnie to samo, co jednoczesne przesu-
ni˛ecie o p jednostek wzdłu ˙z osi Ox i q jednostek wzdłu ˙z osi Oy. Mamy wi˛ec wzór przesu-
ni˛etej funkcji:
y
=
f
(
x
−
p
) +
q.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Pierwszy wykres przedstawia parabol˛e y
= (
x
+
3
)
2
+
2, a drugi parabol˛e
y
= (
x
−
3
)
2
−
2.
2
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
2
y=x
y=x
y=(x+3) +2
2
y=(x-3) -2
2
Obie parabole powstaj ˛
a przez przesuni˛ecie paraboli y
=
x
2
: pierwsza o wektor
[−
3, 2
]
, a druga o wektor
[
3,
−
2
]
.
Odbicia wykresów
Rozpocznijmy od najprostszej sytuacji.
Wykres funkcji y
= −
f
(
x
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie wzgl˛e-
dem osi Ox
.
Podobnie jest odbiciem wzgl˛edem osi Oy.
Wykres funkcji y
=
f
(−
x
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie wzgl˛e-
dem osi Oy
.
Mam nadzieje, ˙ze powy ˙zsze wzory wydaj ˛
a si˛e wam do´s´c oczywiste, je ˙zeli jednak tak nie jest,
to spróbujcie pomy´sle´c w jaki sposób narysowa´c wykresy funkcji y
= −
f
(
x
)
i y
=
f
(−
x
)
,
je ˙zeli umiecie liczy´c warto´sci funkcji y
=
f
(
x
)
(czyli znacie jej wykres).
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Pierwszy wykres przedstawia funkcj˛e y
= − (
2
x
+
1
)
, a drugi
y
=
2
−
x
+
1
=
1
2
x
+
1.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=2 +1
x
y=-(2 +1)
x
y=2 +1
x
y=0,5 +1
x
Oba wykresy powstaj ˛
a przez odbicie wykresu funkcji y
=
2
x
+
1: pierwszy wzgl˛e-
dem osi Ox, a drugi wzgl˛edem osi Oy.
Je ˙zeli wykonamy oba powy ˙zsze odbicia na raz, to otrzymamy symetri˛e wzgl˛edem pocz ˛
atku
układu współrz˛ednych.
Wykres funkcji y
= −
f
(−
x
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez symetri˛e wzgl˛e-
dem punktu
(
0, 0
)
.
Na lewym obrazku narysowany jest wykres funkcji y
= − (
2
−
x
+
1
) = −
0, 5
x
−
1,
który powstaje z wykresu funkcji y
=
2
x
przez symetri˛e wzgl˛edem pocz ˛
atku ukła-
du współrz˛ednych.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=-2 -1
x
y=-0,5 -1
x
y=2 +1
x
y=2 +1
x
y=-0,5 -1
x
Prawy obrazek pokazuje, ˙ze symetria wzgl˛edem pocz ˛
atku układu współrz˛ednych
to dokładnie to samo, co wykonanie odbicia wzgl˛edem osi Ox, a potem wzgl˛edem
osi Oy (kolejno´s´c tych odbi´c nie ma znaczenia).
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zło˙zenia z warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a
Jak zwykle zaczynamy od najprostszej sytuacji.
Wykres funkcji y
= |
f
(
x
)|
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie cz˛e´sci
znajduj ˛
acej poni ˙zej osi Ox do góry.
Powy ˙zsze sformułowanie jest do´s´c niezr˛eczne, ale powinno by´c jasne, o co chodzi: punkty
wykresu, które s ˛
a powy ˙zej osi Ox pozostaj ˛
a na swoim miejscu, a punkty, które s ˛
a poni ˙zej osi
Ox, odbijamy wzgl˛edem tej osi (czyli w˛edruj ˛
a do góry).
Na poni ˙zszym obrazku narysowali´smy wykresy:
y
=
0, 1x
3
−
2x oraz
funkcji y
= |
0, 1x
3
−
2x
|
.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=f(x)
y=|f(x)|
Je ˙zeli natomiast wstawimy
do ´srodka funkcji y
=
f
(
x
)
, czyli zajmu-
jemy si˛e funkcj ˛
a postaci y
=
f
(|
x
|)
to sytuacja jest odrobin˛e ciekawsza. Zauwa ˙zmy, ˙ze je ˙zeli
x
>
0 to nowo otrzymana funkcja niczym si˛e nie ró ˙zni od funkcji y
=
f
(
x
)
(bo wtedy
|
x
| =
x), czyli na prawo od osi Oy wykresy obydwu funkcji b˛ed ˛
a identyczne. Je ˙zeli nato-
miast x
<
0 to mamy f
(|
x
|) =
f
(−
x
)
, czyli wykres na lewo od osi Oy powstaje przez odbicie
prawej cz˛e´sci wykresu y
=
f
(
x
)
wzgl˛edem tej osi.
Wykres funkcji y
=
f
(|
x
|)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez pozostawienie
fragmentu wykresu na prawo od osi Oy bez zmian, oraz przez odbicie tej cz˛e´sci
wykresu wzgl˛edem osi Oy.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Na poni ˙zszym obrazku narysowali´smy wykresy:
y
=
2
x
oraz
funkcji y
=
2
|
x
|
.
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=2
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
x
y=2
|x|
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Nie bójmy si˛e sformułowania przesuni˛ecie o wektor
[
p, q
]
. Tego rodzaju zwrot nale ˙zy trakto-
wa´c jako synonim do przesuni˛ecie o p jednostek wzdłu˙z osi Ox i o q jednostek wzdłu˙z osi Oy.
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
[-6,3]
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
2
Dlaczego we wzorze na przesuni˛ecie funkcji o wektor
[
p, q
]
y
=
f
(
x
−
p
) +
q
s ˛
a ró ˙zne znaki przy p i q? Powód jest taki, ˙ze wzór ten powinni´smy zapisa´c w postaci
y
−
q
=
f
(
x
−
p
)
.
W takiej formie nie ma ró ˙znicy mi˛edzy osiami Ox i Oy:
przesuni˛ecie o k jednostek wzdłu ˙z osi powoduje odj˛ecie k od literki odpowiada-
j ˛
acej tej osi.
Tego rodzaju my´slenie bardzo si˛e przydaje, gdy wkraczamy w ´swiat geometrii analitycznej
i zaczynamy przesuwa´c obiekty bardziej skomplikowane ni ˙z wykresy funkcji.
Okr ˛
ag
(
x
−
a
)
2
+ (
y
−
b
)
2
=
r
2
powstaje z okr˛egu x
2
+
y
2
=
r
2
przez przesuni˛ecie
o wektor
[
a, b
]
.
3
O ile nie powinni´scie mie´c problemu z zapami˛etaniem wzoru na przesuni˛ecie wykresu funk-
cji wzdłu ˙z osi Oy, to wzór na przesuni˛ecie wzdłu ˙z osi Ox zwykle sprawia problemy. Jest
prosty sposób na ustalenie jak ten wzór powinien wygl ˛
ada´c: wystarczy wybra´c jedn ˛
a liczb˛e
z dziedziny, powiedzmy x
=
0 i sprawdzi´c, czy przesuni˛eta funkcja przyjmuje w przesu-
ni˛etym punkcie
warto´s´c f
(
0
)
.
Chcemy napisa´c wzór jaki otrzymamy przesuwaj ˛
ac funkcj˛e f
(
x
) =
log x o 3 jed-
nostki w lewo. Powiedzmy, ˙ze wiemy, ˙ze do x trzeba doda´c, albo odj ˛
a´c 3, ale nie
pami˛etamy, jak to ma by´c dokładnie.
Ustalamy jedn ˛
a liczb˛e z dziedziny, powiedzmy x
=
1. W takim razie po przesu-
ni˛eciu o trzy jednostki w lewo b˛edziemy mie´c liczb˛e x
=
1
−
3
= −
2 i warto´s´c
przesuni˛etej funkcji w tym punkcie musi by´c równa f
(
1
)
. Wida´c zatem, ˙ze wzór
y
=
log
(
x
+
3
)
b˛edzie OK, a wzór y
=
log
(
x
−
3
)
jest zły (bo po podstawieniu
x
= −
2 mamy f
(−
5
)
).
4
Opisuj ˛
ac ró ˙zne przekształcenia wykresów, zaczynali´smy od przekształcenia i mówili´smy w
jaki sposób zmienia si˛e wzór funkcji. Na ogół jednak b˛edziemy musieli u ˙zywa´c tej wiedzy
„od ko ´nca”, tzn. maj ˛
ac dany wzór funkcji b˛edziemy si˛e starali ustali´c, jakie przekształcenia
doprowadziły do powstania tego wzoru.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wyznaczmy zbiór warto´sci funkcji y
=
3x
+
1
x
−
3
.
Je ˙zeli zapiszemy wzór funkcji w postaci
y
=
3x
−
9
+
10
x
−
3
=
3
+
10
x
−
3
,
to wida´c, ˙ze jest to funkcja y
=
10
x
przesuni˛eta o wektor
[
3, 3
]
. Zbiór warto´sci funk-
cji y
=
10
x
jest równy
R
\ {
0
}
(bo jest to najzwyklejsza hiperbola). Zatem zbiorem
warto´sci danej funkcji jest
R
\ {
3
}
(szkicujemy wykres).
-10
-2
+10
x
-10
-2
+2
+10
y
y=
y=3+
x
10
x
10
-3
5
Pisali´smy o podstawowych przekształceniach wykresów, ale w zadaniach mamy na ogół
kilka przekształce ´n zastosowanych na raz. Zwykle najwi˛eksz ˛
a trudno´s´c sprawia ustalenie
jakie (oraz w jakiej kolejno´sci) przekształcenia nale ˙zy wykona´c, aby otrzyma´c dany wzór
funkcji.
Naszkicujmy wykres funkcji y
=
3
+
√
2
−
x.
Najpierw szkicujemy funkcj˛e y
=
√
x, potem przesuwamy ten wykres o dwie jed-
nostki w lewo (mamy y
=
√
x
+
2), nast˛epnie odbijamy ten wykres wzgl˛edem osi
Oy (mamy y
=
√
−
x
+
2
=
√
2
−
x), a na koniec przesuwamy o 3 jednostki w gór˛e.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y= 2-x
y=3+ 2-x
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y= x+2
y= x
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
6
Zdarza si˛e, ˙ze podany wzór funkcji trzeba lekko przekształci´c zanim stanie si˛e jasne w jaki
sposób naszkicowa´c wykres funkcji.
Je ˙zeli zapiszemy wzór funkcji y
=
3
−
log
10
x
w postaci
y
=
3
− (
log 10
−
log x
) =
2
+
log x
to wida´c, ˙ze jest to zwykły logarytm y
=
log x przesuni˛ety o dwie jednostki w gór˛e.
Je ˙zeli zapiszemy wzór y
=
3x
−
5
x
−
2
w postaci
y
=
3x
−
6
+
1
x
−
2
=
3
+
1
x
−
2
.
to wida´c, ˙ze jest to zwykła hiperbola y
=
1
x
przesuni˛eta o wektor
[
2, 3
]
.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Spróbujmy naszkicowa´c wykres funkcji y
=
x
2
−
4
|
x
| +
2.
Wiemy jak narysowa´c wykres postaci y
=
f
(|
x
|)
, ale tu mamy warto´s´c bezwzgl˛ed-
n ˛
a tylko przy x. Mo ˙zemy jednak skorzysta´c ze wzoru x
2
= |
x
|
2
i dany wzór funkcji
zapisa´c w postaci
y
= |
x
|
2
−
4
|
x
| +
2.
Jest to wi˛ec funkcja postaci y
=
f
(|
x
|)
dla
f
(
x
) =
x
2
−
4x
+
2
= (
x
−
2
)
2
−
2.
Rysujemy zatem parabol˛e y
=
x
2
przesuni˛et ˛
a o wektor
[
2,
−
2
]
, zostawiamy jej ka-
wałek na prawo od osi Oy i odbijamy go wzgl˛edem tej osi.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
7
Pami˛etajmy, ˙ze przy wi˛ekszo´sci operacji na wykresach, dziedzina otrzymanej funkcji jest
inna ni ˙z dziedzina funkcji, od której wystartowali´smy.
Dziedzin ˛
a funkcji y
=
log
(
x
+
1
)
jest przedział
(−
1,
+
∞
)
, a dziedzin ˛
a funkcji y
=
log
(|
x
| +
1
)
jest zbiór liczb rzeczywistych
R.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=log(x+1)
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=log(|x|+1)
8
Wspomnijmy jeszcze o dwóch, w miar˛e prostych, przekształceniach wykresu. Niech k
>
0.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wykres funkcji y
=
k
·
f
(
x
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez rozci ˛
agni˛ecie
wzdłu˙z osi Oy ze współczynnikiem k.
Podobnie jest z osi ˛
a Ox, ale tym razem ´sciskamy.
Wykres funkcji y
=
f
(
k
·
x
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez ´sci´sni˛ecie wzdłu˙z
osi Ox ze współczynnikiem k.
Wykres funkcji y
=
2 sin x jest sinusoid ˛
a rozci ˛
agni˛et ˛
a dwukrotnie w pionie tak, ˙ze
zbiór warto´sci to przedział
h−
2, 2
i
.
-2π
-π
+π
x
-2
-1
+1
+2
y
-2π
-π
+π
x
-1
+1
y
y=2sin(x)
y=sin(x)
y=sin(2x)
y=sin(x)
Natomiast wykres funkcji y
=
sin 2x jest sinusoid ˛
a ´sci´sni˛et ˛
a dwa razy wzdłu ˙z osi
Ox.
Kilka słów komentarza. Po pierwsze rozci ˛
aganie ze współczynnikiem k jest prawdziwym roz-
ci ˛
aganiem, o ile k
>
1. Je ˙zeli natomiast k
<
1 to ´sciskamy zamiast rozci ˛
aga´c. Podobnie dla
´sciskania ze współczynnikiem k.
Druga sprawa to pytanie, dlaczego znowu jest inna reguła dla osi Ox ni ˙z dla osi Oy?
Odpowied´z jest dokładnie taka sama, jak w przypadku przesuni˛e´c wykresu: regułki b˛ed ˛
a
identyczne, je ˙zeli wzór zapiszemy w bardziej symetrycznej postaci
k
1
y
=
f
(
k
2
x
)
.
Przy takim wzorze, wykres jest ´sciskany ze współczynnikami k
1
i k
2
wzdłu ˙z osi Oy i Ox.
Je ˙zeli jednak przeniesiemy k
1
na praw ˛
a stron˛e, ˙zeby mie´c wzór postaci y
=
. . ., to k
1
zamieni
si˛e na
1
k
1
i ´sciskanie zamieni si˛e na rozci ˛
aganie.
9
Inn ˛
a wa ˙zn ˛
a transformacj ˛
a wykresu funkcji jest symetria wzgl˛edem prostej y
=
x. W pierw-
szej chwili mo ˙ze si˛e wydawa´c, ˙ze nie jest to specjalnie ciekawe przekształcenie, ale jest ono
wa ˙zne, bo odpowiada mu bardzo prosta zmiana wzoru:
Krzywa x
=
f
(
y
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie wzgl˛edem prostej
y
=
x.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Innymi słowy we wzorze zamieniamy x na y i odwrotnie. Celowo napisali´smy wy ˙zej krzywa
x
=
f
(
y
)
, a nie funkcja, bo na ogół równanie x
=
f
(
y
)
nie opisuje funkcji.
Spróbujmy narysowa´c krzyw ˛
a opisan ˛
a równaniem x
=
y
2
−
2y
+
3.
Problemem s ˛
a oczywi´scie zamienione role x-a i y-ka. Wiemy ju ˙z jednak, ˙ze wystar-
czy narysowa´c wykres funkcji
y
=
x
2
−
2x
+
3
= (
x
−
1
)
2
+
2,
a nast˛epnie odbi´c go wzgl˛edem prostej y
=
x. Funkcj˛e kwadratow ˛
a zapisali´smy od
razu w postaci kanonicznej, aby było wida´c, ˙ze jest to funkcja y
=
x
2
przesuni˛eta o
wektor
[
1, 2
]
. Teraz bez problemu szkicujemy obrazek.
-1
+5
+10
x
-1
+1
+5
+10
y
y=x -2x+3
2
x=y -2y+3
2
Czytelnicy, którzy słyszeli o
, powinni skojarzy´c, ˙ze opisane powy ˙zej prze-
kształcenie zamienia funkcj˛e na funkcj˛e odwrotn ˛
a (je ˙zeli istnieje).
Jak ˛
a funkcj˛e otrzymamy odbijaj ˛
ac wykres y
=
10
x
wzgl˛edem prostej y
=
x?
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
x
y=log(x)
y=10
Sprawd´zmy – zamieniamy we wzorze x z y-kiem i wyliczamy y.
x
=
10
y
/ log
()
log x
=
log
(
10
y
) =
y.
Zatem odbity wykres to y
=
log x. Dokładnie taki jest sens stwierdzenia, ˙ze funkcja
logarytmiczna y
=
log x jest odwrotna do funkcji wykładniczej y
=
10
x
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
10
Składaj ˛
ac ze sob ˛
a przesuni˛ecia i odbicia wykresów wzdłu ˙z osi, mo ˙zna poradzi´c sobie z sy-
metri ˛
a wykresu wzgl˛edem dowolnej prostej postaci y
=
m lub x
=
m.
Spróbujmy wyprowadzi´c wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funk-
cji y
=
f
(
x
)
wzgl˛edem prostej y
=
m. Pomysł jest nast˛epuj ˛
acy: najpierw przesuwamy
wszystko o
−
m jednostek wzdłu ˙z osi Oy – dzi˛eki temu nasza o´s symetrii stała si˛e osi ˛
a Ox.
Potem robimy odbicie wzgl˛edem osi Ox i przesuwamy wszystko z powrotem o m jednostek
wzdłu ˙z osi Oy. Daje nam to wzór
y
= −(
f
(
x
) −
m
) +
m
= −
f
(
x
) +
2m.
Podsumujmy to stwierdzeniem
Wykres funkcji y
= −
f
(
x
) +
2m powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie
wzgl˛edem prostej y
=
m.
Post˛epuj ˛
ac w pełni analogicznie, ale zamieniaj ˛
ac o´s Oy na o´s Ox otrzymamy wzór na syme-
tri˛e wzgl˛edem prostej x
=
m
Wykres funkcji y
=
f
(−
x
+
2m
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez odbicie
wzgl˛edem prostej x
=
m.
Napiszmy wzór funkcji, któr ˛
a otrzymamy odbijaj ˛
ac wykres y
=
x
2
−
4x
+
2 wzgl˛e-
dem prostej x
= −
1. Liczymy
y
= (−
x
−
2
)
2
−
4
(−
x
−
2
) +
2
=
x
2
+
4x
+
4
+
4x
+
8
+
2
=
=
x
2
+
8x
+
14
= (
x
+
4
)
2
−
2.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=x +8x+14
2
y=x -4x+2
2
x=-1
11
O jakich przekształceniach wykresów nic nie napisali´smy? – o obrotach. Powód jest taki,
˙ze wyprowadzenie wzorów w tym przypadku wymaga znacznie wi˛ekszej pomysłowo´sci i
naturalnym j˛ezykiem, w jakim si˛e to robi, s ˛
a współrz˛edne biegunowe, lub te ˙z liczby zespolo-
ne. Poniewa ˙z oba te zagadnienia zbyt daleko odbiegaj ˛
a od głównego nurtu tego poradnika,
podamy tylko ko ´ncowy wynik.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Krzywa y cos ϕ
−
x sin ϕ
=
f
(
y sin ϕ
+
x cos ϕ
)
powstaje z wykresu y
=
f
(
x
)
przez obrót dookoła punktu
(
0, 0
)
o k ˛
at ϕ
.
Obró´cmy parabol˛e y
=
x
2
o k ˛
at ϕ
=
45
◦
. Otrzymamy zatem krzyw ˛
a
√
2
2
y
−
√
2
2
x
=
√
2
2
y
+
√
2
2
x
!
2
/
·
2
= (
√
2
)
2
√
2
(
y
−
x
) = (
y
+
x
)
2
.
Oczywi´scie nie wida´c tego gołym okiem, ale otrzymane równanie opisuje interesu-
j ˛
ac ˛
a nas obrócon ˛
a parabol˛e.
-10
-5
-1
x
-1
+1
+5
+10
y
Materiał pobrany z serwisu
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU PRZEKSZTALCENIA WYKRESOW FUNKCJI 12 13
Przekształcenia wykresów funkcji, MATEMATYKA (Dr.Rockit)
Przekształcenia wykresu funkcji
Przeksztalcanie wykresow funkcji
gim Wykresy funkcji - gimnazjum, gimnazjum i podstawówka, gimnazjum, polak, matma
Matematyka cw8 Badanie funkci Wykres funkcji
Wykresy funkcji (2)
Wykresy funkcji trygonometrycznej
Wykresy funkcji II
równanie stycznej do wykresu funkcji
Monotoniczność, ekstrema i wykresy funkcji
3 Wykresy funkcji elementarnych i (2)
żwyklad wykresy funkcji elem
E akademia Matematyka ''Wykres Funkcji''
Matematyka wykresy funkcji
Wykres funkcji kwadratowej, POLITECHNIKA LUBELSKA, ROK 1, SEMESTR 1, Ćwiczenia, Matematyka
przekszt wykr funkcji pdf
więcej podobnych podstron